三角形計算
3つの値から、すべての辺・角・面積を求めます。三角形が2つあり得る場合は両方を示します。
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角A（辺aの対角） 36.8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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角B（辺bの対角） 53.1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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角C（辺cの対角） 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36.8699° − 53.1301°
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面積 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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周長 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
3つの値で三角形はたいてい決まります。3辺、2辺と1角、または2角と1辺を入力すれば、残りの辺と角、面積が求まります。
答えは一覧にするだけでなく、図でも示します。縮尺はその三角形自身に合わせるので、同じ形ならどの大きさでも同じ図になり、本当に細い三角形は見やすい形に整えたりせず、そのまま細く描きます。値が2つの三角形に当てはまる場合は、2つを並べて描きます。
仕組み
辺をa、b、c、それぞれの対角をA、B、Cとします。3辺の場合は余弦定理で、角を含む場合はすべて正弦定理で解きます。正弦定理は、各辺をその対角の正弦で割ると同じ数になるというものです。
1つだけ違うケースがあり、それがこのページがある理由です。2辺とその間にない角（SSA）は、まったく正当な三角形を2つ表すことがあります。辺aが辺bの端から回転する様子を思い浮かべてください。aが高さより短ければ底辺に届かず三角形はできません。bより長ければちょうど1つ。その間なら底辺と2回交わります。2つの交点はどちらも本物の答えなので、両方を表示します。
面積はヘロンの公式ではなく、2辺の積とその間の角の正弦を掛けたものの半分で求めます。ヘロンの公式は誰もが習うものですが、非常に細長い三角形ではほぼ等しい2つの数を引き算することになり、精度のほとんどを失います。
例
| ケース | 入力 | 結果 |
|---|---|---|
| 3辺から直角が現れる | 3辺（SSS）、3 / 4 / 5 | A 36.87°、B 53.13°、C 90°、面積6 |
| 答えが2つある曖昧なケース | 2辺と挟まない角（SSA）、a = 7、b = 10、A = 40° | B = 66.67°またはB = 113.33°：三角形が2つ |
| どこでも交わらない寸法 | 3辺（SSS）、1 / 2 / 10 | 拒否：2辺の和が残りの1辺より短い |
よくある質問
三角形が2つ出てくることがあるのはなぜですか？
2辺とその間にない角だけでは、三角形が1つに決まるとは限らないからです。2つの答えはどちらも入力した値をすべて満たしており、数値の中にどちらかを選ぶ手がかりはありません。どちらを意図したかは、値ではなくあなたが知っていること、たいていは未知の角が鋭角か鈍角かで決まります。
3つの入力欄はどの順に読み取られますか？
選んだ選択肢に書かれた順です。SASは辺、辺、そしてその間の角。ASAは角、辺、角。AASは2つの角と、1つ目の角の対辺です。選択欄の下の説明にも、ページ上で同じことが書かれています。
三角形が受け付けられなかったのはなぜですか？
2辺の和が残りの1辺より長くないため辺どうしが決して出会わないか、入力した角の合計がすでに180°以上で3つ目の角の入る余地がないかのどちらかです。どちらも、ノーと言っているのはページではなく幾何学です。
度とラジアン、どちらですか？
入力も出力も度です。ラジアンは計算には適した単位ですが、入力欄に打ち込むには不向きです。
知っておきたいこと
- ここでは長さに単位はありません。3センチメートルでも3マイルでも、角度はどちらも同じです。面積と周の長さだけが、入力した単位を引き継ぎます。
- 図には単位も決まった大きさもありません。示すのは形と比率だけで、縮尺は示しません。単独の3つの数から正直に描けるのはそれだけです。