Resolución de triángulos
Encuentra todos los lados, los ángulos y el área a partir de tres medidas, y los dos triángulos cuando hay dos.
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Ángulo A, opuesto al lado a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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Ángulo B, opuesto al lado b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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Ángulo C, opuesto al lado c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
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Área 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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Perímetro 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Tres medidas fijan un triángulo, normalmente. Dale tres lados, o dos lados y un ángulo, o dos ángulos y un lado, y el resto de lados, ángulos y el área salen solos.
La respuesta se dibuja además de listarse, a escala consigo misma: la misma forma a cualquier tamaño da la misma imagen, y un triángulo que de verdad es una astilla se dibuja como tal en lugar de arreglarlo hasta algo cómodo. Cuando las medidas encajan con dos triángulos, se dibujan los dos, uno al lado del otro.
Cómo funciona
Los lados son a, b y c; el ángulo opuesto a cada uno es A, B y C. Tres lados se resuelven con el teorema del coseno, y todo lo que lleve un ángulo con el teorema del seno, que dice que cada lado dividido entre el seno de su ángulo opuesto da el mismo número.
Un caso es distinto, y es la razón por la que existe esta página. Dos lados y un ángulo que no está entre ellos —LLA— pueden describir dos triángulos perfectamente válidos. Imagina el lado a girando desde el extremo del lado b: si es más corto que la altura no llega nunca a la base y no hay triángulo, si es más largo que b hay exactamente uno, y entre esos dos casos cruza la base dos veces. Los dos cruces son respuestas reales, y se muestran los dos.
El área es la mitad del producto de dos lados por el seno del ángulo que forman, no la fórmula de Herón. Herón es la que aprende todo el mundo, y en un triángulo muy fino resta dos números casi iguales y pierde casi toda su precisión.
Ejemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Tres lados, y sale un ángulo recto | LLL, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, área 6 |
| El caso ambiguo, con dos respuestas | LLA, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° o B = 113,33°: dos triángulos |
| Medidas que no se encuentran en ninguna parte | LLL, 1 / 2 / 10 | rechazado: dos lados son más cortos que el tercero |
Preguntas frecuentes
¿Por qué a veces obtengo dos triángulos?
Porque dos lados y un ángulo no comprendido no siempre determinan uno solo. Las dos respuestas cumplen todas las medidas que has dado; nada en los números elige entre ellas. Cuál querías decir depende de algo que sabes tú y que no saben las medidas, normalmente si el ángulo desconocido es agudo u obtuso.
¿En qué orden se leen los tres campos?
En el orden en que los nombra la opción elegida. LAL es lado, lado y después el ángulo entre ellos; ALA es ángulo, lado, ángulo; AAL son los dos ángulos y después el lado opuesto al primero. La indicación que hay bajo el selector lo dice en la propia página.
¿Por qué se ha rechazado mi triángulo?
O bien dos lados juntos no son más largos que el tercero, en cuyo caso no se encuentran nunca, o los ángulos que has dado ya suman 180° o más y no dejan sitio para el tercero. Las dos cosas son la geometría diciendo que no, no la página.
¿Grados o radianes?
Grados, a la entrada y a la salida. Los radianes son la unidad correcta para el cálculo y la equivocada para escribir en una casilla.
Conviene saber
- Aquí las longitudes no tienen unidad: da tres centímetros o tres millas y los ángulos son los mismos en ambos casos. Solo el área y el perímetro llevan la unidad que hayas traído.
- La figura tampoco tiene unidad, ni tamaño fijo. Muestra la forma y las proporciones, nunca la escala, que es lo único que tres números sueltos se pueden dibujar honestamente.
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