Resolução de Triângulo
Encontre todos os lados, os ângulos e a área a partir de três medidas — e os dois triângulos quando houver dois.
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Ângulo A, oposto ao lado a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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Ângulo B, oposto ao lado b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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Ângulo C, oposto ao lado c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
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Área 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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Perímetro 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Três medidas determinam um triângulo — em geral. Dê a ele três lados, ou dois lados e um ângulo, ou dois ângulos e um lado, e todos os lados, ângulos e a área restantes decorrem disso.
A resposta é desenhada além de listada, em escala consigo mesma: a mesma forma em qualquer tamanho dá a mesma figura, e um triângulo que é de fato uma lasca é desenhado como tal, em vez de arrumado em algo confortável. Onde as medidas servem a dois triângulos, os dois são desenhados lado a lado.
Como funciona
Os lados são a, b e c; o ângulo oposto a cada um é A, B e C. Três lados são resolvidos pela lei dos cossenos, e tudo que tem um ângulo pela lei dos senos, que diz que todo lado dividido pelo seno do ângulo oposto dá o mesmo número.
Um caso é diferente, e é a razão de esta página existir. Dois lados e um ângulo que não está entre eles — LLA — podem descrever dois triângulos inteiramente válidos. Imagine o lado a girando a partir da ponta do lado b: se ele for mais curto que a altura, nunca alcança a base e não há triângulo; se for mais longo que b, há exatamente um; e entre esses dois casos ele cruza a base duas vezes. Os dois cruzamentos são respostas reais, e os dois aparecem.
A área é metade do produto de dois lados pelo seno do ângulo entre eles, e não a fórmula de Heron. Heron é a que todo mundo aprende e, em um triângulo muito fino, ela subtrai dois números quase iguais e perde a maior parte da precisão.
Exemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Três lados, e um ângulo reto aparece | LLL, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, área 6 |
| O caso ambíguo, com duas respostas | LLA, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° ou B = 113,33° — dois triângulos |
| Medidas que não se encontram em lugar nenhum | LLL, 1 / 2 / 10 | recusado — dois lados são mais curtos que o terceiro |
Perguntas frequentes
Por que às vezes eu recebo dois triângulos?
Porque dois lados e um ângulo não compreendido nem sempre determinam um. As duas respostas satisfazem todas as medidas que você deu; nada nos números escolhe entre elas. Qual delas você quis dizer depende de algo que você sabe e as medidas não — em geral se o ângulo desconhecido é agudo ou obtuso.
Em que ordem os três campos são lidos?
Na ordem em que a opção escolhida os nomeia. LAL é lado, lado e depois o ângulo entre eles; ALA é ângulo, lado, ângulo; AAL são os dois ângulos e depois o lado oposto ao primeiro. A dica abaixo do seletor diz isso na própria página.
Por que o meu triângulo foi recusado?
Ou dois lados juntos já não são maiores que o terceiro, caso em que eles nunca se encontram, ou os ângulos que você deu já somam 180° ou mais, sem sobrar nada para o terceiro. Os dois são a geometria dizendo não, e não a página.
Graus ou radianos?
Graus, na entrada e na saída. Radianos são a unidade certa para o cálculo e a errada para digitar em uma caixa.
Bom saber
- Os comprimentos não têm unidade aqui: dê três centímetros ou três milhas e os ângulos são os mesmos de qualquer jeito. Só a área e o perímetro carregam a unidade que você trouxe.
- A figura também não tem unidade nem tamanho fixo. Ela mostra a forma e as proporções, nunca a escala — que é a única coisa em que três números nus podem ser honestamente desenhados.
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