Résolution de triangle
Trouver tous les côtés, les angles et l'aire à partir de trois mesures — et les deux triangles quand il y en a deux.
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Angle A, opposé au côté a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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Angle B, opposé au côté b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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Angle C, opposé au côté c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
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Aire 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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Périmètre 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Trois mesures fixent un triangle — en général. Donnez-lui trois côtés, ou deux côtés et un angle, ou deux angles et un côté, et tous les côtés, angles et l'aire restants en découlent.
La réponse est dessinée autant qu’énumérée, à l’échelle par rapport à elle-même : la même forme à n’importe quelle taille donne la même image, et un triangle réellement en aiguille est dessiné comme tel plutôt qu’arrangé pour paraître confortable. Lorsque les mesures correspondent à deux triangles, les deux sont dessinés côte à côte.
Comment ça marche
Les côtés se nomment a, b et c ; l'angle opposé à chacun se nomme A, B et C. Trois côtés se résolvent par la loi des cosinus (théorème d'Al-Kashi), et tout ce qui comporte un angle par la loi des sinus, qui dit que chaque côté divisé par le sinus de son angle opposé donne le même nombre.
Un cas fait exception, et c'est la raison d'être de cette page. Deux côtés et un angle qui n'est pas entre eux — CCA — peuvent décrire deux triangles parfaitement valables. Imaginez le côté a pivotant depuis l'extrémité du côté b : s'il est plus court que la hauteur il n'atteint jamais la base et aucun triangle n'existe ; s'il est plus long que b il y en a exactement un ; entre les deux il croise la base deux fois. Les deux croisements sont de vraies réponses, et les deux sont affichées.
L'aire vaut la moitié du produit de deux côtés par le sinus de l'angle entre eux, et non la formule de Héron. Héron est celle que tout le monde apprend, et sur un triangle très aplati elle soustrait deux nombres presque égaux et perd l'essentiel de sa précision.
Exemples
| Cas | Saisie | Résultat |
|---|---|---|
| Trois côtés, et un angle droit en ressort | SSS, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, aire 6 |
| Le cas ambigu, avec deux réponses | SSA, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° ou B = 113,33° — deux triangles |
| Des mesures qui ne se rejoignent nulle part | SSS, 1 / 2 / 10 | refusé — deux côtés sont plus courts que le troisième |
Questions fréquentes
Pourquoi obtiens-je parfois deux triangles ?
Parce que deux côtés et un angle non compris entre eux ne fixent pas toujours un seul triangle. Les deux réponses satisfont toutes les mesures données ; rien dans les nombres ne tranche entre elles. Lequel vous vouliez dépend de quelque chose que vous savez et que les mesures ignorent — en général si l'angle inconnu est aigu ou obtus.
Dans quel ordre les trois champs sont-ils lus ?
Dans l'ordre annoncé par l'option choisie. CAC, c'est côté, côté, puis l'angle entre eux ; ACA, c'est angle, côté, angle ; AAC, ce sont les deux angles puis le côté opposé au premier. L'indice sous le sélecteur le rappelle sur la page elle-même.
Pourquoi mon triangle a-t-il été refusé ?
Soit deux côtés réunis ne dépassent pas le troisième, auquel cas ils ne se rejoignent jamais, soit les angles donnés atteignent déjà 180° ou plus et ne laissent rien au troisième. Dans les deux cas c'est la géométrie qui refuse, pas la page.
Degrés ou radians ?
Degrés, à l'entrée comme à la sortie. Le radian est la bonne unité pour l'analyse et la mauvaise pour taper dans un champ.
Bon à savoir
- Les longueurs n'ont pas d'unité ici : donnez trois centimètres ou trois kilomètres, les angles seront les mêmes. Seuls l'aire et le périmètre portent l'unité que vous avez apportée.
- La figure n’a pas d’unité non plus, ni de taille fixe. Elle montre la forme et les proportions, jamais l’échelle — la seule chose que trois nombres nus peuvent honnêtement représenter.