Driehoek oplossen
Vind alle zijden, hoeken en de oppervlakte uit drie maten, en beide driehoeken als het er twee zijn.
-
Hoek A, tegenover zijde a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
-
Hoek B, tegenover zijde b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
-
Hoek C, tegenover zijde c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
-
Oppervlakte 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
-
Omtrek 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Drie maten leggen een driehoek vast, meestal. Geef drie zijden, of twee zijden en een hoek, of twee hoeken en een zijde, en de overige zijden, hoeken en de oppervlakte volgen vanzelf.
Het antwoord wordt niet alleen opgesomd maar ook getekend, op schaal ten opzichte van zichzelf: dezelfde vorm in elke grootte geeft hetzelfde beeld, en een driehoek die echt een splinter is, wordt als splinter getekend in plaats van opgepoetst tot iets prettigs. Als de maten bij twee driehoeken passen, worden beide getekend, naast elkaar.
Hoe het werkt
De zijden zijn a, b en c; de hoek tegenover elke zijde is A, B en C. Drie zijden worden opgelost met de cosinusregel, en alles met een hoek erin met de sinusregel, die zegt dat elke zijde gedeeld door de sinus van de overstaande hoek hetzelfde getal geeft.
Eén geval is anders, en het is de reden dat deze pagina bestaat. Twee zijden en een hoek die er niet tussen ligt – ZZH – kunnen twee volkomen geldige driehoeken beschrijven. Stel je zijde a voor die vanaf het uiteinde van zijde b ronddraait: is ze korter dan de hoogte, dan bereikt ze de basis nooit en is er geen driehoek; is ze langer dan b, dan is er precies één; en daartussen snijdt ze de basis twee keer. Beide snijpunten zijn echte antwoorden, en beide worden getoond.
De oppervlakte is de helft van het product van twee zijden maal de sinus van de ingesloten hoek, niet de formule van Heron. Heron is de formule die iedereen leert, en bij een zeer smalle driehoek trekt ze twee bijna gelijke getallen van elkaar af en verliest ze bijna al haar precisie.
Voorbeelden
| Geval | Invoer | Resultaat |
|---|---|---|
| Drie zijden, en er komt een rechte hoek uit | ZZZ, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, oppervlakte 6 |
| Het dubbelzinnige geval, met twee antwoorden | ZZH, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° of B = 113,33°: twee driehoeken |
| Maten die nergens samenkomen | ZZZ, 1 / 2 / 10 | geweigerd: twee zijden zijn korter dan de derde |
Veelgestelde vragen
Waarom krijg ik soms twee driehoeken?
Omdat twee zijden en een niet-ingesloten hoek niet altijd één driehoek vastleggen. Beide antwoorden voldoen aan elke maat die je hebt opgegeven; niets in de getallen kiest ertussen. Welke je bedoelde, hangt af van iets wat jij weet en de maten niet – meestal of de onbekende hoek scherp of stomp is.
In welke volgorde worden de drie velden gelezen?
In de volgorde waarin de gekozen optie ze noemt. ZHZ is zijde, zijde en dan de hoek ertussen; HZH is hoek, zijde, hoek; HHZ is de twee hoeken en dan de zijde tegenover de eerste. De aanwijzing onder de keuzelijst zegt het op de pagina zelf.
Waarom is mijn driehoek geweigerd?
Ofwel zijn twee zijden samen niet langer dan de derde, en dan raken ze elkaar nooit, ofwel tellen de hoeken die je gaf al op tot 180° of meer en laten ze geen ruimte voor de derde. In beide gevallen zegt de meetkunde nee, niet de pagina.
Graden of radialen?
Graden, bij invoer en uitvoer. Radialen zijn de juiste eenheid voor analyse en de verkeerde om in een vakje te typen.
Goed om te weten
- Lengtes hebben hier geen eenheid: geef drie centimeter of drie mijl en de hoeken zijn in beide gevallen dezelfde. Alleen de oppervlakte en de omtrek dragen de eenheid die je hebt meegebracht.
- De figuur heeft evenmin een eenheid of een vaste grootte. Ze toont de vorm en de verhoudingen, nooit de schaal – het enige wat je met drie losse getallen eerlijk kunt tekenen.