Rozwiązywanie trójkątów
Znajdź wszystkie boki, kąty i pole na podstawie trzech danych – i oba trójkąty, gdy są dwa.
-
Kąt A, naprzeciw boku a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
-
Kąt B, naprzeciw boku b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
-
Kąt C, naprzeciw boku c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
-
Pole 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
-
Obwód 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Trzy dane wyznaczają trójkąt – zazwyczaj. Podaj trzy boki albo dwa boki i kąt, albo dwa kąty i bok, a pozostałe boki, kąty i pole wyjdą same.
Wynik jest nie tylko wypisany, ale też narysowany, w skali względem samego siebie: ten sam kształt w dowolnym rozmiarze daje ten sam obraz, a trójkąt, który naprawdę jest drzazgą, rysuje się jako drzazga, zamiast poprawiać go do czegoś wygodniejszego. Gdy dane pasują do dwóch trójkątów, rysowane są oba, obok siebie.
Jak to działa
Boki to a, b i c; kąt naprzeciw każdego z nich to A, B i C. Trzy boki rozwiązuje się twierdzeniem cosinusów, a wszystko, w czym występuje kąt – twierdzeniem sinusów, które mówi, że każdy bok podzielony przez sinus kąta naprzeciw niego daje tę samą liczbę.
Jeden przypadek jest inny – i to z jego powodu ta strona istnieje. Dwa boki i kąt, który nie leży między nimi – BBK – mogą opisywać dwa całkowicie poprawne trójkąty. Wyobraź sobie bok a obracający się wokół końca boku b: jeśli jest krótszy niż wysokość, nigdy nie sięga podstawy i trójkąta nie ma; jeśli jest dłuższy niż b, jest dokładnie jeden; a pomiędzy tymi przypadkami przecina podstawę dwukrotnie. Oba przecięcia są prawdziwymi odpowiedziami i pokazywane są obie.
Pole to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi, a nie wzór Herona. Wzoru Herona uczy się każdy, a w bardzo smukłym trójkącie odejmuje on od siebie dwie niemal równe liczby i traci prawie całą precyzję.
Przykłady
| Przypadek | Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|---|
| Trzy boki i wychodzi kąt prosty | BBB, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, pole 6 |
| Przypadek niejednoznaczny, z dwiema odpowiedziami | BBK, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° lub B = 113,33°: dwa trójkąty |
| Wymiary, które nigdzie się nie spotykają | BBB, 1 / 2 / 10 | odrzucone: dwa boki razem są krótsze od trzeciego |
Najczęściej zadawane pytania
Dlaczego czasem dostaję dwa trójkąty?
Bo dwa boki i kąt, który nie leży między nimi, nie zawsze wyznaczają jeden trójkąt. Obie odpowiedzi spełniają wszystkie podane dane; nic w liczbach nie wybiera między nimi. O który ci chodziło, zależy od czegoś, co wiesz ty, a czego nie wiedzą dane – zwykle od tego, czy nieznany kąt jest ostry, czy rozwarty.
W jakiej kolejności są odczytywane trzy pola?
W kolejności, w jakiej wymienia je wybrana opcja. BKB to bok, bok, a potem kąt między nimi; KBK to kąt, bok, kąt; KKB to dwa kąty, a potem bok naprzeciw pierwszego z nich. Podpowiedź pod listą wyboru mówi to na samej stronie.
Dlaczego mój trójkąt został odrzucony?
Albo dwa boki razem nie są dłuższe od trzeciego – wtedy nigdy się nie spotkają – albo podane kąty sumują się już do 180° lub więcej i nie zostawiają miejsca na trzeci. W obu przypadkach to geometria mówi „nie”, a nie strona.
Stopnie czy radiany?
Stopnie, na wejściu i na wyjściu. Radiany to właściwa jednostka do analizy matematycznej i niewłaściwa do wpisywania w pole.
Warto wiedzieć
- Długości nie mają tu jednostki: podaj trzy centymetry albo trzy mile, a kąty wyjdą w obu przypadkach takie same. Tylko pole i obwód mają jednostkę, którą przyniesiesz.
- Rysunek też nie ma jednostki ani stałego rozmiaru. Pokazuje kształt i proporcje, nigdy skalę – i tylko tyle da się uczciwie narysować z trzech samych liczb.
Wszystkie narzędzia z kategorii Matematyka