Dreiecksrechner
Jede Seite, jeden Winkel und die Fläche aus drei Angaben finden — und beide Dreiecke, wenn es zwei gibt.
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Winkel A, gegenüber Seite a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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Winkel B, gegenüber Seite b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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Winkel C, gegenüber Seite c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
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Fläche 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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Umfang 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Drei Angaben legen ein Dreieck fest — meistens. Geben Sie ihm drei Seiten, oder zwei Seiten und einen Winkel, oder zwei Winkel und eine Seite, und jede übrige Seite, jeder Winkel und die Fläche folgen.
Die Antwort wird gezeichnet und nicht nur aufgeführt, maßstabsgetreu zu sich selbst: Dieselbe Form in jeder Größe gibt dasselbe Bild, und ein Dreieck, das wirklich ein Splitter ist, wird als solcher gezeichnet und nicht zu etwas Bequemem zurechtgerückt. Wo die Angaben zu zwei Dreiecken passen, werden beide nebeneinander gezeichnet.
Wie es funktioniert
Die Seiten sind a, b und c; der jeweils gegenüberliegende Winkel ist A, B und C. Drei Seiten werden über den Kosinussatz gelöst und alles mit einem Winkel darin über den Sinussatz, der sagt, dass jede Seite geteilt durch den Sinus ihres Gegenwinkels dieselbe Zahl ergibt.
Ein Fall ist anders, und seinetwegen gibt es diese Seite. Zwei Seiten und ein Winkel, der nicht dazwischenliegt — SSW —, können zwei völlig gültige Dreiecke beschreiben. Stellen Sie sich die Seite a vor, wie sie vom Ende der Seite b schwingt: Ist sie kürzer als die Höhe, erreicht sie die Grundlinie nie und es gibt kein Dreieck, ist sie länger als b, gibt es genau eines, und dazwischen kreuzt sie die Grundlinie zweimal. Beide Kreuzungen sind echte Antworten, und beide werden gezeigt.
Die Fläche ist das halbe Produkt zweier Seiten und des Sinus des Winkels dazwischen, nicht die Formel von Heron. Heron ist die, die alle lernen, und bei einem sehr schmalen Dreieck zieht sie zwei fast gleiche Zahlen voneinander ab und verliert den größten Teil ihrer Genauigkeit.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Drei Seiten, und ein rechter Winkel fällt heraus | SSS, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, Fläche 6 |
| Der mehrdeutige Fall, mit zwei Antworten | SSW, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° oder B = 113,33° — zwei Dreiecke |
| Maße, die sich nirgends treffen | SSS, 1 / 2 / 10 | abgelehnt — zwei Seiten sind kürzer als die dritte |
Häufige Fragen
Warum bekomme ich manchmal zwei Dreiecke?
Weil zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel nicht immer eines festlegen. Beide Antworten erfüllen jede Angabe, die Sie gemacht haben; nichts in den Zahlen wählt zwischen ihnen. Welches Sie gemeint haben, hängt von etwas ab, das Sie wissen und die Angaben nicht — meist davon, ob der unbekannte Winkel spitz oder stumpf ist.
In welcher Reihenfolge werden die drei Felder gelesen?
In der Reihenfolge, in der die gewählte Option sie nennt. SWS ist Seite, Seite und dann der Winkel dazwischen; WSW ist Winkel, Seite, Winkel; WWS sind die beiden Winkel und dann die dem ersten gegenüberliegende Seite. Der Hinweis unter der Auswahl sagt es auf der Seite selbst.
Warum wurde mein Dreieck abgelehnt?
Entweder sind zwei Seiten zusammen nicht länger als die dritte, dann treffen sie sich nie, oder die angegebenen Winkel ergeben schon 180° oder mehr und lassen für den dritten nichts übrig. Beides ist die Geometrie, die nein sagt, nicht die Seite.
Grad oder Bogenmaß?
Grad, hinein wie heraus. Das Bogenmaß ist die richtige Einheit für die Analysis und die falsche zum Eintippen in ein Feld.
Gut zu wissen
- Längen haben hier keine Einheit: Geben Sie drei Zentimeter oder drei Meilen, die Winkel sind so oder so dieselben. Nur die Fläche und der Umfang tragen die Einheit, die Sie mitgebracht haben.
- Die Figur hat auch keine Einheit und keine feste Größe. Sie zeigt die Form und die Verhältnisse, nie den Maßstab — und das ist das Einzige, als das sich drei bloße Zahlen ehrlich zeichnen lassen.