Risoluzione dei triangoli
Trova tutti i lati, gli angoli e l'area a partire da tre misure, e entrambi i triangoli quando sono due.
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Angolo A, opposto al lato a 36,8699°
A = arccos((b² + c² − a²) ÷ (2 × b × c))
A = arccos((4² + 5² − 3²) ÷ (2 × 4 × 5))
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Angolo B, opposto al lato b 53,1301°
B = arccos((a² + c² − b²) ÷ (2 × a × c))
B = arccos((3² + 5² − 4²) ÷ (2 × 3 × 5))
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Angolo C, opposto al lato c 90°
C = 180° − A° − B°
C = 180° − 36,8699° − 53,1301°
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Area 6
S = ½ × a × b × sin(C°)
S = ½ × 3 × 4 × sin(90°)
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Perimetro 12
P = a + b + c
P = 3 + 4 + 5
Tre misure fissano un triangolo, di solito. Dagli tre lati, oppure due lati e un angolo, oppure due angoli e un lato, e tutti gli altri lati, angoli e l'area vengono da soli.
La risposta viene disegnata oltre che elencata, in scala con sé stessa: la stessa forma a qualsiasi dimensione dà la stessa immagine, e un triangolo che è davvero una scheggia viene disegnato così invece di essere sistemato in qualcosa di comodo. Quando le misure vanno bene per due triangoli, vengono disegnati entrambi, uno accanto all'altro.
Come funziona
I lati sono a, b e c; l'angolo opposto a ciascuno è A, B e C. Tre lati si risolvono con il teorema del coseno, e tutto quello che contiene un angolo con il teorema dei seni, che dice che ogni lato diviso il seno del suo angolo opposto dà lo stesso numero.
Un caso è diverso, ed è il motivo per cui questa pagina esiste. Due lati e un angolo non compreso — LLA — possono descrivere due triangoli perfettamente validi. Immagina il lato a che ruota dall'estremità del lato b: se è più corto dell'altezza non arriva mai alla base e non c'è triangolo, se è più lungo di b ce n'è esattamente uno, e tra questi due casi attraversa la base due volte. Entrambi gli attraversamenti sono risposte vere, e vengono mostrati entrambi.
L'area è metà del prodotto di due lati per il seno dell'angolo compreso, non la formula di Erone. Erone è quella che imparano tutti, e su un triangolo molto sottile sottrae due numeri quasi uguali e perde quasi tutta la precisione.
Esempi
| Caso | Dati inseriti | Risultato |
|---|---|---|
| Tre lati, e viene fuori un angolo retto | LLL, 3 / 4 / 5 | A 36,87°, B 53,13°, C 90°, area 6 |
| Il caso ambiguo, con due risposte | LLA, a = 7, b = 10, A = 40° | B = 66,67° o B = 113,33°: due triangoli |
| Misure che non si incontrano da nessuna parte | LLL, 1 / 2 / 10 | rifiutato: due lati sono più corti del terzo |
Domande frequenti
Perché a volte ottengo due triangoli?
Perché due lati e un angolo non compreso non sempre ne determinano uno solo. Entrambe le risposte soddisfano tutte le misure che hai dato; niente nei numeri sceglie tra loro. Quale intendevi dipende da qualcosa che sai tu e che le misure non sanno, di solito se l'angolo incognito sia acuto o ottuso.
In che ordine si leggono i tre campi?
Nell'ordine in cui li nomina l'opzione scelta. LAL è lato, lato e poi l'angolo compreso; ALA è angolo, lato, angolo; AAL sono i due angoli e poi il lato opposto al primo. L'indicazione sotto il selettore lo dice nella pagina stessa.
Perché il mio triangolo è stato rifiutato?
O due lati insieme non sono più lunghi del terzo, nel qual caso non si incontrano mai, oppure gli angoli che hai dato sommano già a 180° o più e non lasciano spazio per il terzo. Entrambe le cose sono la geometria che dice di no, non la pagina.
Gradi o radianti?
Gradi, in entrata e in uscita. I radianti sono l'unità giusta per l'analisi e quella sbagliata da scrivere in una casella.
Da sapere
- Qui le lunghezze non hanno unità: dai tre centimetri o tre miglia e gli angoli sono gli stessi in entrambi i casi. Solo l'area e il perimetro portano l'unità che hai portato tu.
- Nemmeno la figura ha unità, né una dimensione fissa. Mostra la forma e le proporzioni, mai la scala, che è l'unica cosa che tre numeri nudi si possano disegnare onestamente.
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