Rozwiązywanie równania kwadratowego
Rozwiąż ax² + bx + c = 0 – z wyróżnikiem, wierzchołkiem i pierwiastkami, także zespolonymi.
Działa w całości w twojej przeglądarce. Nic nie jest wysyłane, logowane ani przechowywane.
Pierwiastki
1 ; 2
- Rodzaj rozwiązania
- dwa różne pierwiastki rzeczywiste
- Wyróżnik (b² − 4ac)
- 1
- Wierzchołek paraboli
- (1,5; -0,25)
- Oś symetrii
- x = 1,5
Wyróżnik decyduje o wszystkim: dodatni – są dwa pierwiastki rzeczywiste, zero – jest jeden, ujemny – są dwa zespolone. Tutaj odpowiedź dostają wszystkie trzy przypadki, łącznie z ostatnim, który większość kalkulatorów kwituje słowami „brak rozwiązań”.
Jak to działa
Ujemny wyróżnik nie oznacza, że rozwiązania nie ma. Oznacza, że nie ma go wśród liczb rzeczywistych: rozwiązania są dwa i są to sprzężone liczby zespolone, lustrzane odbicia po obu stronach osi rzeczywistej. „Brak rozwiązań” jest prawdą tylko wtedy, gdy już wiesz, że chodzi o „brak rozwiązań rzeczywistych” – a tego właśnie jeszcze nie wie ten, kto potrzebuje odpowiedzi.
Ustawienie a na zero też nie jest błędem. To równanie liniowe, bx + c = 0, i ma całkowicie poprawną odpowiedź. Odrzucenie go zostawiłoby osobę, która je wpisała, z zadaniem samodzielnego odkrycia, że nie miała przed sobą równania kwadratowego.
Pierwiastków nie liczy się ze wzoru z podręcznika w jego dosłownej postaci. Gdy b jest duże, a 4ac małe, jeden z dwóch pierwiastków wychodzi jako różnica dwóch niemal równych liczb i traci prawie wszystkie cyfry znaczące. Tutaj liczy się ten pierwiastek, w którym nie dochodzi do takiego odejmowania, a drugi wyprowadza się z iloczynu obu – co jest dokładne tam, gdzie naiwny wzór zwraca zero.
Przykłady
| Przypadek | Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|---|
| Dwa pierwiastki rzeczywiste | x² − 3x + 2 | Δ = 1, pierwiastki 1 i 2 |
| Pierwiastek podwójny | x² + 2x + 1 | Δ = 0, pierwiastek −1 |
| Pierwiastki zespolone | x² + 1 | Δ = −4, pierwiastki −i oraz +i |
| To nawet nie jest równanie kwadratowe | 2x − 4 | liniowe, pierwiastek 2 |
Najczęściej zadawane pytania
Co tak naprawdę mówi mi wyróżnik?
Ile razy parabola przecina oś poziomą. Dodatni: dwa razy. Zero: dotyka jej w wierzchołku i się odsuwa. Ujemny: nigdy jej nie sięga – dlatego nie ma pierwiastka rzeczywistego i dlatego oba pierwiastki zespolone mają tę samą część rzeczywistą.
Czym jest i w odpowiedzi?
Jednostką urojoną – liczbą, której kwadrat wynosi −1. Pierwiastek taki jak 2 + 3i jest prawdziwym rozwiązaniem: podstawiony do równania daje zero. Po prostu nie jest punktem na osi liczbowej.
Do czego służy wierzchołek?
To najwyższy lub najniższy punkt krzywej, a oś symetrii przechodzi przez niego pionowo. Razem pozwalają naszkicować parabolę na podstawie współczynników, bez rysowania czegokolwiek.
Warto wiedzieć
- Współczynniki mogą być ułamkami dziesiętnymi. Pierwiastki są pokazywane z dokładnością do sześciu miejsc po przecinku, bez końcowych zer, żeby dokładny wynik wyglądał na dokładny.
Wszystkie narzędzia z kategorii Matematyka