Resolución de la ecuación de segundo grado
Resuelve ax² + bx + c = 0 con el discriminante, el vértice y las raíces, las complejas incluidas.
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Raíces
1 ; 2
- Qué tipo de solución
- dos raíces reales distintas
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- Vértice de la parábola
- (1,5; -0,25)
- Eje de simetría
- x = 1,5
El discriminante lo decide todo: positivo y hay dos raíces reales, cero y hay una, negativo y hay dos complejas. Aquí se responden los tres casos, incluido el último, que la mayoría de las calculadoras dan como «sin solución».
Cómo funciona
Un discriminante negativo no significa que no haya solución. Significa que no la hay entre los números reales: hay dos, y son complejas conjugadas, imágenes especulares a un lado y otro del eje real. Decir «sin solución» solo es cierto si ya sabes que quiere decir «sin solución real», que es precisamente lo que todavía no sabe quien necesita la respuesta.
Poner a a cero tampoco es un error. Es una ecuación lineal, bx + c = 0, y tiene una respuesta perfectamente válida. Rechazarla deja a quien la escribió con la tarea de descubrir por su cuenta que no estaba ante una ecuación de segundo grado.
Las raíces no se calculan con la fórmula del libro de texto tal como está escrita. Cuando b es grande y 4ac pequeño, una de las dos raíces sale como la diferencia de dos números casi iguales y pierde casi todas sus cifras significativas. Aquí se calcula la raíz que conserva su signo y la otra se deriva del producto de las dos, que es exacto donde la fórmula ingenua devuelve cero.
Ejemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Dos raíces reales | x² − 3x + 2 | Δ = 1, raíces 1 y 2 |
| Una raíz doble | x² + 2x + 1 | Δ = 0, raíz −1 |
| Raíces complejas | x² + 1 | Δ = −4, raíces −i y +i |
| Ni siquiera es de segundo grado | 2x − 4 | lineal, raíz 2 |
Preguntas frecuentes
¿Qué me dice en realidad el discriminante?
Cuántas veces cruza la parábola el eje horizontal. Positivo: dos. Cero: lo toca en el vértice y se aparta. Negativo: no llega nunca al eje, que es por lo que no hay raíz real y por lo que las dos complejas comparten la misma parte real.
¿Qué es la i de la respuesta?
La unidad imaginaria, el número cuyo cuadrado es −1. Una raíz como 2 + 3i es una solución de verdad; sustituirla en la ecuación da cero. Simplemente no es un punto de la recta numérica.
¿Para qué sirve el vértice?
Es el punto más alto o más bajo de la curva, y el eje de simetría pasa verticalmente por él. Juntos te permiten esbozar la parábola a partir de los coeficientes sin dibujar nada.
Conviene saber
- Los coeficientes pueden ser decimales. Las raíces se muestran con seis decimales, sin los ceros finales, para que una respuesta exacta parezca exacta.
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