Löser für quadratische Gleichungen
ax² + bx + c = 0 lösen, mit Diskriminante, Scheitelpunkt und Wurzeln — komplexe eingeschlossen.
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Wurzeln
1 ; 2
- Welche Art Lösung
- zwei verschiedene reelle Wurzeln
- Diskriminante (b² − 4ac)
- 1
- Scheitelpunkt der Parabel
- (1,5; -0,25)
- Symmetrieachse
- x = 1,5
Die Diskriminante entscheidet alles: positiv und es gibt zwei reelle Wurzeln, null und es gibt eine, negativ und es gibt zwei komplexe. Alle drei Fälle werden hier beantwortet, auch der letzte, den die meisten Rechner als „keine Lösung“ melden.
Wie es funktioniert
Eine negative Diskriminante heißt nicht, dass es keine Lösung gibt. Sie heißt, dass es keine unter den reellen Zahlen gibt — es gibt zwei, und sie sind konjugiert komplex, Spiegelbilder beiderseits der reellen Achse. „Keine Lösung“ zu sagen stimmt nur, wenn man schon weiß, dass es „keine reelle Lösung“ heißt, und genau das weiß der Leser, der die Antwort braucht, noch nicht.
a auf null zu setzen ist auch kein Fehler. Es ist eine lineare Gleichung, bx + c = 0, und sie hat eine völlig brauchbare Antwort. Sie abzulehnen überließe es dem Besucher, selbst herauszufinden, dass er keine quadratische Gleichung vor sich hatte.
Die Wurzeln werden nicht mit der Lehrbuchformel gerechnet, wie sie dasteht. Ist b groß und 4ac klein, kommt eine der beiden Wurzeln als Differenz zweier fast gleicher Zahlen heraus und verliert die meisten ihrer geltenden Stellen. Hier wird die Wurzel berechnet, die ihr Vorzeichen behält, und die andere aus dem Produkt der beiden hergeleitet, was exakt ist, wo die naive Formel null zurückgibt.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Zwei reelle Wurzeln | x² − 3x + 2 | Δ = 1, Wurzeln 1 und 2 |
| Eine doppelte Wurzel | x² + 2x + 1 | Δ = 0, Wurzel −1 |
| Komplexe Wurzeln | x² + 1 | Δ = −4, Wurzeln −i und +i |
| Überhaupt keine quadratische Gleichung | 2x − 4 | linear, Wurzel 2 |
Häufige Fragen
Was sagt mir die Diskriminante eigentlich?
Wie oft die Parabel die waagerechte Achse kreuzt. Positiv: zweimal. Null: Sie berührt sie im Scheitelpunkt und wendet sich ab. Negativ: Sie erreicht die Achse nie, und deshalb gibt es keine reelle Wurzel und deshalb teilen die beiden komplexen denselben Realteil.
Was ist das i in der Antwort?
Die imaginäre Einheit, die Zahl, deren Quadrat −1 ist. Eine Wurzel wie 2 + 3i ist eine echte Lösung; setzt man sie in die Gleichung zurück, kommt null heraus. Sie ist nur kein Punkt auf dem Zahlenstrahl.
Wofür ist der Scheitelpunkt gut?
Er ist der höchste oder tiefste Punkt der Kurve, und die Symmetrieachse läuft senkrecht durch ihn. Zusammen lassen sie Sie die Parabel aus den Koeffizienten skizzieren, ohne irgendetwas aufzutragen.
Gut zu wissen
- Die Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen sein. Die Wurzeln stehen auf sechs Nachkommastellen, Nullen am Ende entfernt, eine exakte Antwort sieht also exakt aus.