Risoluzione dell'equazione di secondo grado
Risolvi ax² + bx + c = 0 con il discriminante, il vertice e le radici, comprese quelle complesse.
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Radici
1 ; 2
- Che tipo di soluzione
- due radici reali distinte
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- Vertice della parabola
- (1,5; -0,25)
- Asse di simmetria
- x = 1,5
Il discriminante decide tutto: positivo e ci sono due radici reali, zero e ce n'è una, negativo e ce ne sono due complesse. Qui si risponde a tutti e tre i casi, compreso l'ultimo, che la maggior parte delle calcolatrici liquida come «nessuna soluzione».
Come funziona
Un discriminante negativo non significa che non ci sia soluzione. Significa che non ce n'è tra i numeri reali: ce ne sono due, e sono complesse coniugate, immagini speculari da una parte e dall'altra dell'asse reale. Dire «nessuna soluzione» è vero solo se sai già che vuol dire «nessuna soluzione reale», che è proprio quello che chi ha bisogno della risposta ancora non sa.
Mettere a a zero non è nemmeno un errore. È un'equazione lineare, bx + c = 0, e ha una risposta perfettamente valida. Rifiutarla lascia a chi l'ha scritta il compito di scoprire da solo che non aveva davanti un'equazione di secondo grado.
Le radici non si calcolano con la formula del manuale così com'è scritta. Quando b è grande e 4ac piccolo, una delle due radici esce come differenza di due numeri quasi uguali e perde quasi tutte le sue cifre significative. Qui si calcola la radice che mantiene il suo segno e l'altra si ricava dal prodotto delle due, che è esatto dove la formula ingenua restituisce zero.
Esempi
| Caso | Dati inseriti | Risultato |
|---|---|---|
| Due radici reali | x² − 3x + 2 | Δ = 1, radici 1 e 2 |
| Una radice doppia | x² + 2x + 1 | Δ = 0, radice −1 |
| Radici complesse | x² + 1 | Δ = −4, radici −i e +i |
| Non è nemmeno di secondo grado | 2x − 4 | lineare, radice 2 |
Domande frequenti
Cosa mi dice davvero il discriminante?
Quante volte la parabola attraversa l'asse orizzontale. Positivo: due. Zero: lo tocca nel vertice e se ne va. Negativo: non arriva mai all'asse, ed è per questo che non c'è radice reale e per cui le due complesse hanno la stessa parte reale.
Cos'è la i nella risposta?
L'unità immaginaria, il numero il cui quadrato è −1. Una radice come 2 + 3i è una soluzione vera; sostituirla nell'equazione dà zero. Semplicemente non è un punto della retta dei numeri.
A cosa serve il vertice?
È il punto più alto o più basso della curva, e l'asse di simmetria ci passa in verticale. Insieme ti permettono di tracciare la parabola a partire dai coefficienti senza disegnare niente.
Da sapere
- I coefficienti possono essere decimali. Le radici sono mostrate con sei decimali, senza gli zeri finali, così una risposta esatta sembra esatta.
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