Rozwiązywanie równania sześciennego
Rozwiąż ax³ + bx² + cx + d = 0: wszystkie trzy pierwiastki, także zespolone, a całkowite zapisane jako liczby całkowite.
Działa w całości w twojej przeglądarce. Nic nie jest wysyłane, logowane ani przechowywane.
Pierwiastki
1 ; 2 ; 3
- Rodzaj rozwiązania
- trzy różne pierwiastki rzeczywiste
- Wyróżnik
- 4
- Sposób rozwiązania
- dokładnie, przez rozkład na czynniki z użyciem pierwiastka wymiernego
- Punkt przegięcia
- (2; 0)
Każde równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki i co najmniej jeden z nich jest rzeczywisty – to pierwsza rzecz, która odróżnia je od kwadratowego: krzywa biegnąca od minus nieskończoności do plus nieskończoności musi gdzieś przeciąć oś. To narzędzie podaje wszystkie trzy, mówi, które się powtarzają, i zapisuje pierwiastek całkowity jako liczbę całkowitą.
Jak to działa
Najpierw szuka się pierwiastków wymiernych. Jeśli wielomian trzeciego stopnia o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek p/q w postaci nieskracalnej, to p dzieli wyraz wolny, a q – współczynnik wiodący, więc kandydatów jest niewielu i każdego można sprawdzić na liczbach całkowitych, bez żadnego zaokrąglania. Znaleziony w ten sposób pierwiastek się wydziela, a to, co zostaje, jest równaniem kwadratowym.
To nie skrót, tylko różnica między tym, co poprawne, a tym, co na poprawne wygląda. Rozwiązanie w postaci zamkniętej natrafia na casus irreducibilis: właśnie wtedy, gdy wszystkie trzy pierwiastki są rzeczywiste, wzór przechodzi przez pierwiastki sześcienne z liczb zespolonych, więc w praktyce używa się postaci trygonometrycznej – a ta odpowiada na x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 liczbą 0,9999999998 zamiast 1. Zaokrąglenie wyświetlanego wyniku by to ukryło, ale nie prawdziwą szkodę: w arytmetyce zmiennoprzecinkowej wyróżnik nigdy nie jest dokładnie zerem, więc pierwiastek potrójny wygląda jak trzy osobne pierwiastki, które przypadkiem wypisują się tak samo.
To, co nie ma pierwiastka wymiernego, rozwiązuje się numerycznie: podstawienie x = t − b/3a usuwa wyraz kwadratowy, a potem odpowiada postać trygonometryczna albo wzór Cardana, zależnie od znaku wyróżnika. Strona mówi, którą z dwóch dróg wybrano, bo jedna daje wartości dokładne, a druga sześć miejsc po przecinku.
Przykłady
| Przypadek | Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|---|
| Trzy pierwiastki całkowite | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 i 3 |
| Pierwiastek potrójny | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, trzykrotnie |
| Pierwiastek ułamkowy | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ i 2 |
| Jeden rzeczywisty i dwa zespolone | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Najczęściej zadawane pytania
Czy każde równanie sześcienne da się rozwiązać wzorem?
Tak, i to ostatni stopień, dla którego jest to prawdą w użytecznym sensie. Równanie czwartego stopnia też ma wzór, ale od piątego stopnia nie istnieje ogólne rozwiązanie przez pierwiastniki: udowodnili to Abel i Ruffini, a Galois wyjaśnił dlaczego. Równania wyższych stopni rozwiązuje się numerycznie, a nie przez podstawianie do wzoru.
Dlaczego pisze, że pierwiastek jest podwójny albo potrójny?
Bo równanie sześcienne ma zawsze trzy pierwiastki, liczone z krotnościami, a wiedza, że dwa z nich się zeszły, mówi ci o kształcie krzywej: w pierwiastku podwójnym dotyka ona osi i zawraca, zamiast ją przeciąć. Dwukrotne wypisanie tej samej liczby by tego nie powiedziało.
Do czego służy punkt przegięcia?
To środek symetrii krzywej – każda krzywa trzeciego stopnia jest względem niego symetryczna – i to właśnie ten punkt standardowe podstawienie przenosi do początku układu, żeby pozbyć się wyrazu kwadratowego. Pełni tę samą rolę co wierzchołek w paraboli.
Warto wiedzieć
- Droga dokładna wymaga współczynników całkowitych – albo dziesiętnych, które po przeskalowaniu stają się całkowite – do dziesięciu tysięcy. Powyżej odpowiada droga numeryczna, która jest precyzyjna, ale nie potrafi poświadczyć, że pierwiastek się powtarza.
Wszystkie narzędzia z kategorii Matematyka