Équation du second degré
Résoudre ax² + bx + c = 0 avec le discriminant, le sommet et les racines — complexes comprises.
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Racines
1 ; 2
- Nature de la solution
- deux racines réelles distinctes
- Discriminant (b² − 4ac)
- 1
- Sommet de la parabole
- (1,5; -0,25)
- Axe de symétrie
- x = 1,5
Le discriminant décide de tout : positif, il y a deux racines réelles ; nul, il y en a une ; négatif, il y en a deux complexes. Les trois cas reçoivent ici une réponse, y compris le dernier, que la plupart des calculatrices annoncent comme « pas de solution ».
Comment ça marche
Un discriminant négatif ne veut pas dire qu'il n'y a pas de solution. Il veut dire qu'il n'y en a pas parmi les réels — il y en a deux, complexes conjuguées, symétriques de part et d'autre de l'axe réel. Dire « pas de solution » n'est vrai que si l'on sait déjà que cela signifie « pas de solution réelle », ce que le lecteur qui a besoin de la réponse ignore justement.
Poser a = 0 n'est pas non plus une erreur. C'est une équation du premier degré, bx + c = 0, et elle a une réponse parfaitement valable. La refuser laisse au visiteur le soin de découvrir seul qu'il ne regardait pas une équation du second degré.
Les racines ne sont pas calculées par la formule du manuel telle quelle. Quand b est grand et 4ac petit, l'une des deux racines apparaît comme la différence de deux nombres presque égaux et perd l'essentiel de ses chiffres significatifs. Cette page calcule la racine qui conserve son signe et déduit l'autre du produit des deux, ce qui est exact là où la formule naïve se trompe lourdement.
Exemples
| Cas | Saisie | Résultat |
|---|---|---|
| Deux racines réelles | x² − 3x + 2 | Δ = 1, racines 1 et 2 |
| Une racine double | x² + 2x + 1 | Δ = 0, racine −1 |
| Des racines complexes | x² + 1 | Δ = −4, racines −i et +i |
| Pas une équation du second degré du tout | 2x − 4 | linéaire, racine 2 |
Questions fréquentes
Que m'indique vraiment le discriminant ?
Combien de fois la parabole coupe l'axe horizontal. Positif : deux fois. Nul : elle le touche au sommet et repart. Négatif : elle n'atteint jamais l'axe, d'où l'absence de racine réelle et le fait que les deux racines complexes partagent la même partie réelle.
Qu'est-ce que le i dans la réponse ?
L'unité imaginaire, le nombre dont le carré vaut −1. Une racine comme 2 + 3i est une vraie solution ; la substituer dans l'équation donne zéro. Simplement, ce n'est pas un point de la droite des réels.
À quoi sert le sommet ?
C'est le point le plus haut ou le plus bas de la courbe, et l'axe de symétrie le traverse verticalement. Ensemble, ils permettent d'esquisser la parabole à partir des coefficients sans rien tracer.
Bon à savoir
- Les coefficients peuvent être décimaux. Les racines sont données à six décimales, zéros finaux retirés, pour qu'une réponse exacte en ait l'air.