Equação do Segundo Grau
Resolva ax² + bx + c = 0 com o discriminante, o vértice e as raízes — inclusive as complexas.
Roda inteiramente no seu navegador. Nada é enviado, registrado ou armazenado.
Raízes
1 ; 2
- Que tipo de solução
- duas raízes reais distintas
- Discriminante (b² − 4ac)
- 1
- Vértice da parábola
- (1,5; -0,25)
- Eixo de simetria
- x = 1,5
O discriminante decide tudo: positivo e há duas raízes reais, zero e há uma, negativo e há duas complexas. Os três casos são respondidos aqui, inclusive o último, que a maioria das calculadoras informa como "sem solução".
Como funciona
Um discriminante negativo não significa que não há solução. Significa que não há nenhuma entre os números reais — há duas, e elas são conjugadas complexas, imagens espelhadas de cada lado do eixo real. Dizer "sem solução" só é verdade se você já sabe que isso quer dizer "sem solução real", que é precisamente o que quem precisa da resposta ainda não sabe.
Colocar a em zero também não é erro. É uma equação do primeiro grau, bx + c = 0, e ela tem uma resposta perfeitamente boa. Recusá-la deixa o visitante descobrir sozinho que ele não estava olhando para uma equação do segundo grau.
As raízes não são calculadas pela fórmula do livro como ela é escrita. Quando b é grande e 4ac pequeno, uma das duas raízes sai como a diferença entre dois números quase iguais e perde a maior parte dos algarismos significativos. Aqui se calcula a raiz que preserva o sinal e a outra é deduzida do produto das duas, que é exato onde a fórmula ingênua devolve zero.
Exemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Duas raízes reais | x² − 3x + 2 | Δ = 1, raízes 1 e 2 |
| Uma raiz dupla | x² + 2x + 1 | Δ = 0, raiz −1 |
| Raízes complexas | x² + 1 | Δ = −4, raízes −i e +i |
| Nem é uma equação do segundo grau | 2x − 4 | do primeiro grau, raiz 2 |
Perguntas frequentes
O que o discriminante me diz, afinal?
Quantas vezes a parábola cruza o eixo horizontal. Positivo: duas. Zero: ela toca no vértice e volta. Negativo: ela nunca alcança o eixo, e é por isso que não há raiz real e por que as duas complexas têm a mesma parte real.
O que é o i na resposta?
A unidade imaginária, o número cujo quadrado é −1. Uma raiz como 2 + 3i é uma solução genuína; substituí-la de volta na equação dá zero. Ela simplesmente não é um ponto da reta numérica.
Para que serve o vértice?
Ele é o ponto mais alto ou mais baixo da curva, e o eixo de simetria passa verticalmente por ele. Juntos, eles permitem esboçar a parábola a partir dos coeficientes sem marcar um ponto sequer.
Bom saber
- Os coeficientes podem ser decimais. As raízes aparecem com seis casas decimais, sem zeros à direita, para que uma resposta exata pareça exata.
Todas as ferramentas de Matemática