三次方程式計算
ax³ + bx² + cx + d = 0を解きます。3つの解すべて（複素数解を含む）を求め、整数の解は整数で表示します。
すべてブラウザ内で動作します。アップロード、記録、保存は一切行いません。
解
1 ; 2 ; 3
- 解の種類
- 異なる3つの実数解
- 判別式
- 4
- 解き方
- 有理数解をくくり出して厳密に
- 変曲点
- (2, 0)
三次方程式には必ず3つの解があり、少なくとも1つは実数です。これが二次方程式との最初の違いです。マイナス無限大からプラス無限大へ伸びる曲線は、どこかで必ず軸と交わるからです。このツールは3つの解をすべて求め、どれが重解かを示し、整数の解は整数で表示します。
仕組み
まず有理数解を探します。整数係数の三次式が既約分数p/qの解をもつなら、pは定数項を、qは最高次の係数を割り切ります。そのため候補は短いリストになり、どれも整数だけで、どこにも丸めを入れずに確かめられます。こうして見つかった解で割ると、残りは二次方程式になります。
これは近道ではなく、正しい答えと正しく見えるだけの答えとの違いです。三次方程式の解の公式は「還元不能の場合」（casus irreducibilis）に突き当たります。まさに3つの解がすべて実数のときに、公式が複素数の立方根を経由するため、実際には三角関数による解法が使われますが、これはx³ − 6x² + 11x − 6 = 0に対して1ではなく0.9999999998と答えます。表示を丸めればそれは隠せますが、本当の害は隠せません。浮動小数点では判別式がちょうど0になることはないので、三重解が、たまたま同じ値で表示される3つの別々の解に見えてしまうのです。
有理数解をもたないものは数値的に解きます。x = t − b/3aと置き換えて2次の項を消し、判別式の符号に応じて三角関数による解法かカルダノの公式で答えます。ページにはどちらの方法を取ったかを表示します。一方は正確な値を、もう一方は小数点以下6桁を出すからです。
例
| ケース | 入力 | 結果 |
|---|---|---|
| 3つの整数解 | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1、2、3 |
| 三重解 | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1（三重解） |
| 分数の解 | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1、½、2 |
| 実数解1つと複素数解2つ | x³ − 8 | 2、−1 ± i√3 |
よくある質問
どんな三次方程式も公式で解けますか？
はい。そしてそれが実用的な意味で成り立つ最後の次数です。四次方程式にも公式はありますが、五次以上には根号による一般的な解法はありません。アーベルとルフィニがそれを証明し、ガロアがその理由を説明しました。より高次の方程式は、公式に代入するのではなく数値的に解きます。
解が重解や三重解だと表示されるのはなぜですか？
三次方程式は重複度を数えれば常に3つの解をもち、そのうち2つが重なっていると知れば曲線の形がわかるからです。重解のところでは、曲線は軸を横切らずに接して引き返します。同じ数を2回表示するだけでは、それは伝わりません。
変曲点は何の役に立ちますか？
曲線の対称の中心です（すべての三次曲線はこの点に関して点対称です）。標準的な置き換えで2次の項を消すときに原点へ移すのがこの点で、放物線における頂点の役割を果たします。
知っておきたいこと
- 正確な方法には、1万までの整数係数（または整数に換算できる小数）が必要です。それを超えると数値的な方法で答えます。精度は高いものの、解が重解であることを保証することはできません。