Équation du troisième degré
Résoudre ax³ + bx² + cx + d = 0 — les trois racines, complexes comprises, et les entières écrites en entiers.
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Racines
1 ; 2 ; 3
- Nature des solutions
- trois racines réelles distinctes
- Discriminant
- 4
- Méthode employée
- exactement, en factorisant une racine rationnelle
- Point d'inflexion
- (2; 0)
Toute équation du troisième degré a trois racines, dont au moins une réelle — c'est la première différence avec le second degré : une courbe qui va de moins l'infini à plus l'infini doit bien croiser l'axe quelque part. Les trois sont données ici, avec celles qui sont multiples, et une racine entière est écrite en entier.
Comment ça marche
Les racines rationnelles sont cherchées en premier. Si une cubique à coefficients entiers admet une racine p/q irréductible, alors p divise le terme constant et q le coefficient dominant : la liste des candidats est courte et chacun se teste en nombres entiers, sans le moindre arrondi. Une racine trouvée ainsi est divisée, et il reste un trinôme du second degré.
Ce n'est pas un raccourci, c'est la différence entre juste et juste en apparence. La résolution par radicaux bute sur le casus irreducibilis : précisément quand les trois racines sont réelles, la formule passe par des racines cubiques de nombres complexes, si bien qu'on emploie en pratique la forme trigonométrique — laquelle répond à x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 par 0,9999999998 au lieu de 1. Arrondir l'affichage masquerait ce chiffre, mais pas le vrai dégât : en virgule flottante le discriminant n'est jamais exactement nul, et une racine triple ressemble alors à trois racines distinctes qui s'affichent pareil.
Ce qui n'a pas de racine rationnelle est résolu numériquement : le changement de variable x = t − b/3a supprime le terme carré, puis la forme trigonométrique ou celle de Cardan répond selon le signe du discriminant. La page indique laquelle des deux voies a été prise, parce que l'une donne des valeurs exactes et l'autre six décimales.
Exemples
| Cas | Saisie | Résultat |
|---|---|---|
| Trois racines entières | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 et 3 |
| Une racine triple | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, trois fois |
| Une racine fractionnaire | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ et 2 |
| Une réelle, deux complexes | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Questions fréquentes
Toutes les équations se résolvent-elles par une formule ?
Oui pour le troisième degré, et c'est le dernier pour lequel cela reste utile. Le quatrième degré a aussi sa formule, mais à partir du cinquième il n'existe aucune résolution générale par radicaux — Abel et Ruffini l'ont démontré, Galois a expliqué pourquoi. Les degrés supérieurs se résolvent numériquement, et non en remplaçant dans quoi que ce soit.
Pourquoi une racine est-elle dite double ou triple ?
Parce qu'une cubique a toujours trois racines dès qu'on les compte avec leur multiplicité, et savoir que deux d'entre elles sont confondues renseigne sur l'allure de la courbe : en une racine double, elle touche l'axe et repart au lieu de le traverser. Afficher deux fois le même nombre ne dirait pas cela.
À quoi sert le point d'inflexion ?
C'est le centre de symétrie de la courbe — toute cubique est symétrique par rapport à lui — et c'est le point que le changement de variable usuel ramène à l'origine pour supprimer le terme carré. Il joue le rôle que le sommet joue pour une parabole.
Bon à savoir
- La voie exacte demande des coefficients entiers, ou décimaux se ramenant à des entiers, jusqu'à dix mille. Au-delà, c'est la voie numérique qui répond : elle est précise, mais elle ne peut pas certifier qu'une racine est multiple.