Equação do Terceiro Grau
Resolva ax³ + bx² + cx + d = 0 — as três raízes, incluindo as complexas, e as inteiras escritas como números inteiros.
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Raízes
1 ; 2 ; 3
- Que tipo de solução
- três raízes reais distintas
- Discriminante
- 4
- Como foi resolvida
- exatamente, fatorando uma raiz racional
- Ponto de inflexão
- (2; 0)
Toda equação do terceiro grau tem três raízes e pelo menos uma delas é real, que é a primeira coisa a diferenciá-la de uma do segundo grau: uma curva que vai de menos infinito a mais infinito tem de cruzar o eixo em algum lugar. Isto dá as três, diz quais são repetidas e escreve uma raiz inteira como número inteiro.
Como funciona
As raízes racionais são procuradas primeiro. Se uma cúbica de coeficientes inteiros tem uma raiz p/q em termos mínimos, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder — então há uma lista curta de candidatos e cada um pode ser testado em números inteiros, sem arredondamento nenhum. Uma raiz encontrada assim é dividida fora, e o que sobra é uma equação do segundo grau.
Isso não é um atalho, é a diferença entre certo e aparentemente certo. A solução fechada de uma cúbica esbarra no casus irreducibilis: exatamente quando as três raízes são reais, a fórmula passa por raízes cúbicas de números complexos, então na prática se usa a forma trigonométrica — e ela responde x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 com 0,9999999998 em vez de 1. Arredondar a exibição esconderia isso, mas não o estrago de verdade: com ponto flutuante o discriminante nunca é exatamente zero, então uma raiz tripla parece três raízes separadas que por acaso imprimem igual.
O que não tem raiz racional é resolvido numericamente: a substituição x = t − b/3a remove o termo quadrático, e então a forma trigonométrica ou a de Cardano responde conforme o sinal do discriminante. A página diz qual dos dois caminhos foi tomado, porque um deles dá valores exatos e o outro dá seis casas decimais.
Exemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Três raízes inteiras | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 e 3 |
| Uma raiz tripla | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, três vezes |
| Uma raiz fracionária | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ e 2 |
| Uma real, duas complexas | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Perguntas frequentes
Toda cúbica pode ser resolvida por fórmula?
Pode, e é o último grau para o qual isso vale em sentido útil. A quártica também tem uma, mas a partir do quinto grau não existe solução geral por radicais — Abel e Ruffini provaram, e Galois explicou por quê. Equações de grau maior são resolvidas numericamente, e não substituindo valores em coisa alguma.
Por que ele diz que uma raiz é dupla ou tripla?
Porque uma cúbica tem sempre três raízes, uma vez contadas com multiplicidade, e saber que duas delas se juntaram diz qual é o formato da curva: em uma raiz dupla ela toca o eixo e volta em vez de cruzar. Imprimir o mesmo número duas vezes não diria isso.
Para que serve o ponto de inflexão?
Ele é o centro de simetria da curva — toda cúbica é simétrica em torno dele — e é o que a substituição padrão leva para a origem a fim de eliminar o termo quadrático. Ele faz o papel que o vértice faz para uma parábola.
Bom saber
- O caminho exato exige coeficientes inteiros, ou decimais que escalem para inteiros, até dez mil. Passando disso, o caminho numérico responde no lugar, o que é preciso mas não consegue certificar que uma raiz é repetida.
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