Resolución de la ecuación de tercer grado
Resuelve ax³ + bx² + cx + d = 0: las tres raíces, las complejas incluidas, y las enteras escritas como números enteros.
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Raíces
1 ; 2 ; 3
- Qué tipo de solución
- tres raíces reales distintas
- Discriminante
- 4
- Cómo se ha resuelto
- de forma exacta, factorizando una raíz racional
- Punto de inflexión
- (2; 0)
Toda ecuación de tercer grado tiene tres raíces y al menos una de ellas es real, que es lo primero que la diferencia de una de segundo grado: una curva que va de menos infinito a más infinito tiene que cruzar el eje en algún punto. Esto da las tres, dice cuáles están repetidas y escribe una raíz entera como número entero.
Cómo funciona
Primero se buscan las raíces racionales. Si una cúbica de coeficientes enteros tiene una raíz p/q irreducible, entonces p divide al término independiente y q al coeficiente principal, así que hay una lista corta de candidatos y cada uno se puede probar con números enteros, sin redondeo en ninguna parte. Una raíz encontrada así se divide, y lo que queda es una ecuación de segundo grado.
Eso no es un atajo, es la diferencia entre lo correcto y lo que lo parece. La solución en forma cerrada de una cúbica choca con el casus irreducibilis: justo cuando las tres raíces son reales, la fórmula pasa por raíces cúbicas de números complejos, así que en la práctica se usa la forma trigonométrica, y esa responde a x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 con 0,9999999998 en lugar de 1. Redondear lo que se muestra ocultaría eso, pero no el daño real: en coma flotante el discriminante no es nunca exactamente cero, así que una raíz triple parece tres raíces separadas que resulta que se imprimen igual.
Lo que no tiene raíz racional se resuelve numéricamente: la sustitución x = t − b/3a elimina el término cuadrático, y después responde la forma trigonométrica o la de Cardano según el signo del discriminante. La página dice cuál de las dos rutas se ha tomado, porque una da valores exactos y la otra da seis decimales.
Ejemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Tres raíces enteras | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 y 3 |
| Una raíz triple | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, tres veces |
| Una raíz fraccionaria | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ y 2 |
| Una real y dos complejas | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Preguntas frecuentes
¿Toda cúbica se puede resolver con una fórmula?
Sí, y es el último grado en el que eso es cierto en un sentido útil. La cuártica también tiene una, pero a partir del quinto grado no hay solución general por radicales: lo demostraron Abel y Ruffini, y Galois explicó por qué. Las ecuaciones de grado superior se resuelven numéricamente, no sustituyendo en nada.
¿Por qué dice que una raíz es doble o triple?
Porque una cúbica tiene siempre tres raíces una vez contadas con su multiplicidad, y saber que dos de ellas se han juntado te dice la forma de la curva: en una raíz doble toca el eje y se vuelve en lugar de cruzarlo. Imprimir el mismo número dos veces no diría eso.
¿Para qué sirve el punto de inflexión?
Es el centro de simetría de la curva —toda cúbica es simétrica respecto a él— y es lo que la sustitución estándar lleva al origen para deshacerse del término cuadrático. Hace el papel que hace el vértice en una parábola.
Conviene saber
- La ruta exacta necesita coeficientes enteros, o decimales que escalen a enteros, hasta diez mil. A partir de ahí responde la ruta numérica, que es precisa pero no puede certificar que una raíz esté repetida.
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