Löser für kubische Gleichungen
ax³ + bx² + cx + d = 0 lösen — alle drei Wurzeln, komplexe eingeschlossen, und ganze als ganze Zahlen geschrieben.
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Wurzeln
1 ; 2 ; 3
- Welche Art Lösung
- drei verschiedene reelle Wurzeln
- Diskriminante
- 4
- Wie gelöst wurde
- exakt, durch Abspalten einer rationalen Wurzel
- Wendepunkt
- (2; 0)
Jede kubische Gleichung hat drei Wurzeln, und mindestens eine davon ist reell, und das ist das Erste, was sie von einer quadratischen unterscheidet: Eine Kurve, die von minus unendlich nach plus unendlich läuft, muss die Achse irgendwo kreuzen. Dies gibt alle drei, sagt, welche mehrfach sind, und schreibt eine ganze Wurzel als ganze Zahl.
Wie es funktioniert
Zuerst wird nach rationalen Wurzeln gesucht. Hat eine kubische Gleichung mit ganzen Koeffizienten eine vollständig gekürzte Wurzel p/q, dann teilt p das absolute Glied und q den Leitkoeffizienten — es gibt also eine kurze Kandidatenliste, und jeder lässt sich in ganzen Zahlen prüfen, ganz ohne Rundung. Eine so gefundene Wurzel wird herausdividiert, und was bleibt, ist eine quadratische Gleichung.
Das ist keine Abkürzung, es ist der Unterschied zwischen richtig und richtig aussehend. Die geschlossene Lösung einer kubischen Gleichung läuft in den Casus irreducibilis: Genau dann, wenn alle drei Wurzeln reell sind, führt die Formel durch Kubikwurzeln komplexer Zahlen, in der Praxis nimmt man daher die trigonometrische Form — und die beantwortet x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 mit 0,9999999998 statt mit 1. Die Anzeige zu runden würde das verbergen, nicht aber den eigentlichen Schaden: In Gleitkommaarithmetik ist die Diskriminante nie genau null, eine dreifache Wurzel sieht also aus wie drei getrennte, die zufällig gleich gedruckt werden.
Was keine rationale Wurzel hat, wird numerisch gelöst: Die Substitution x = t − b/3a entfernt das quadratische Glied, und dann antwortet je nach Vorzeichen der Diskriminante entweder die trigonometrische Form oder Cardano. Die Seite sagt, welcher der beiden Wege genommen wurde, denn der eine gibt exakte Werte und der andere sechs Nachkommastellen.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Drei ganze Wurzeln | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 und 3 |
| Eine dreifache Wurzel | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, dreimal |
| Eine gebrochene Wurzel | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ und 2 |
| Eine reelle, zwei komplexe | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Häufige Fragen
Lässt sich jede kubische Gleichung mit einer Formel lösen?
Ja, und es ist der letzte Grad, für den das in einem brauchbaren Sinn gilt. Die quartische hat auch eine, aber ab dem fünften Grad gibt es überhaupt keine allgemeine Lösung in Wurzelausdrücken — Abel und Ruffini haben es bewiesen, und Galois hat erklärt, warum. Gleichungen höheren Grades werden numerisch gelöst und nicht durch Einsetzen in irgendetwas.
Warum sagt es, eine Wurzel sei doppelt oder dreifach?
Weil eine kubische Gleichung immer drei Wurzeln hat, sobald man sie mit Vielfachheit zählt, und zu wissen, dass zwei davon zusammengefallen sind, sagt Ihnen die Gestalt der Kurve: An einer doppelten Wurzel berührt sie die Achse und kehrt um, statt sie zu kreuzen. Dieselbe Zahl zweimal zu drucken sagte das nicht.
Wofür ist der Wendepunkt?
Er ist das Symmetriezentrum der Kurve — jede kubische Gleichung ist um ihn symmetrisch — und er ist das, was die übliche Substitution in den Ursprung verschiebt, um das quadratische Glied loszuwerden. Er spielt die Rolle, die der Scheitelpunkt für eine Parabel spielt.
Gut zu wissen
- Der exakte Weg braucht ganze Koeffizienten oder Dezimalzahlen, die sich auf ganze skalieren lassen, bis zehntausend. Darüber antwortet der numerische Weg, der genau ist, aber nicht bescheinigen kann, dass eine Wurzel mehrfach ist.