Risoluzione dell'equazione di terzo grado
Risolvi ax³ + bx² + cx + d = 0: tutte e tre le radici, comprese quelle complesse, e quelle intere scritte come numeri interi.
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Radici
1 ; 2 ; 3
- Che tipo di soluzione
- tre radici reali distinte
- Discriminante
- 4
- Come è stata risolta
- esattamente, fattorizzando una radice razionale
- Punto di flesso
- (2; 0)
Ogni equazione di terzo grado ha tre radici e almeno una di esse è reale, che è la prima cosa che la distingue da una di secondo grado: una curva che va da meno infinito a più infinito deve attraversare l'asse da qualche parte. Questo dà tutte e tre, dice quali sono ripetute, e scrive una radice intera come numero intero.
Come funziona
Prima si cercano le radici razionali. Se una cubica a coefficienti interi ha una radice p/q ai minimi termini, allora p divide il termine noto e q il coefficiente direttivo, quindi c'è un breve elenco di candidati e ognuno si può provare con numeri interi, senza arrotondamenti da nessuna parte. Una radice trovata così viene divisa, e quello che resta è un'equazione di secondo grado.
Non è una scorciatoia, è la differenza tra giusto e che sembra giusto. La soluzione in forma chiusa di una cubica si scontra con il casus irreducibilis: proprio quando tutte e tre le radici sono reali, la formula passa per radici cubiche di numeri complessi, quindi in pratica si usa la forma trigonometrica, e quella risponde a x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 con 0,9999999998 invece di 1. Arrotondare quello che si mostra nasconderebbe questo, ma non il danno vero: in virgola mobile il discriminante non è mai esattamente zero, quindi una radice tripla sembra tre radici separate che per caso si stampano uguali.
Quello che non ha radice razionale si risolve numericamente: la sostituzione x = t − b/3a elimina il termine quadratico, e poi risponde la forma trigonometrica o quella di Cardano a seconda del segno del discriminante. La pagina dice quale delle due strade è stata presa, perché una dà valori esatti e l'altra sei decimali.
Esempi
| Caso | Dati inseriti | Risultato |
|---|---|---|
| Tre radici intere | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 e 3 |
| Una radice tripla | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, tre volte |
| Una radice frazionaria | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ e 2 |
| Una reale e due complesse | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Domande frequenti
Ogni cubica si può risolvere con una formula?
Sì, ed è l'ultimo grado per cui questo è vero in senso utile. Anche la quartica ne ha una, ma dal quinto grado in poi non esiste soluzione generale per radicali: l'hanno dimostrato Abel e Ruffini, e Galois ha spiegato perché. Le equazioni di grado superiore si risolvono numericamente, non sostituendo in qualcosa.
Perché dice che una radice è doppia o tripla?
Perché una cubica ha sempre tre radici una volta contate con la loro molteplicità, e sapere che due si sono unite ti dice la forma della curva: in una radice doppia tocca l'asse e torna indietro invece di attraversarlo. Stampare due volte lo stesso numero non direbbe questo.
A cosa serve il punto di flesso?
È il centro di simmetria della curva — ogni cubica è simmetrica rispetto a esso — ed è quello che la sostituzione standard porta nell'origine per liberarsi del termine quadratico. Fa la parte che fa il vertice per una parabola.
Da sapere
- La strada esatta ha bisogno di coefficienti interi, o di decimali che si riducano a interi, fino a diecimila. Oltre risponde la strada numerica, che è precisa ma non può certificare che una radice sia ripetuta.
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