Penyelesai persamaan kubik
Selesaikan ax³ + bx² + cx + d = 0: ketiga akarnya, termasuk akar kompleks, dengan akar bulat ditulis sebagai bilangan bulat.
Berjalan sepenuhnya di browser Anda. Tidak ada yang diunggah, dicatat, atau disimpan.
Akar
1 ; 2 ; 3
- Jenis penyelesaian
- tiga akar real yang berbeda
- Diskriminan
- 4
- Cara penyelesaian
- secara eksak, dengan memfaktorkan satu akar rasional
- Titik belok
- (2; 0)
Setiap persamaan kubik memiliki tiga akar dan setidaknya satu di antaranya real — itulah perbedaan pertamanya dengan persamaan kuadrat: kurva yang bergerak dari minus tak hingga ke plus tak hingga pasti memotong sumbu di suatu titik. Alat ini memberikan ketiganya, menyebutkan mana yang berulang, dan menulis akar bulat sebagai bilangan bulat.
Cara kerja
Pertama dicari akar rasional. Jika persamaan kubik berkoefisien bulat memiliki akar p/q dalam bentuk paling sederhana, maka p membagi konstanta dan q membagi koefisien utama, sehingga ada daftar kandidat yang pendek dan masing-masing bisa diuji dengan bilangan bulat, tanpa pembulatan di mana pun. Akar yang ditemukan dengan cara ini dibagikan keluar, dan sisanya adalah persamaan kuadrat.
Itu bukan jalan pintas, melainkan perbedaan antara yang benar dan yang tampak benar. Penyelesaian bentuk tertutup persamaan kubik terbentur casus irreducibilis: justru ketika ketiga akarnya real, rumusnya melewati akar pangkat tiga dari bilangan kompleks, sehingga dalam praktik dipakai bentuk trigonometri, dan bentuk itu menjawab x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 dengan 0,9999999998, bukan 1. Membulatkan tampilan akan menyembunyikan hal itu, tetapi tidak menyembunyikan kerusakan yang sebenarnya: dalam floating point diskriminannya tidak pernah tepat nol, sehingga akar tripel tampak seperti tiga akar terpisah yang kebetulan tercetak sama.
Yang tidak memiliki akar rasional diselesaikan secara numerik: substitusi x = t − b/3a menghilangkan suku kuadrat, lalu bentuk trigonometri atau bentuk Cardano yang menjawab, tergantung tanda diskriminannya. Halaman ini menyebutkan jalur mana yang diambil, karena yang satu memberi nilai eksak dan yang lain memberi enam angka desimal.
Contoh
| Kasus | Masukan | Hasil |
|---|---|---|
| Tiga akar bulat | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2, dan 3 |
| Akar tripel | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, tiga kali |
| Akar pecahan | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½, dan 2 |
| Satu real dan dua kompleks | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Pertanyaan umum
Apakah setiap persamaan kubik bisa diselesaikan dengan rumus?
Ya, dan ini derajat terakhir di mana hal itu benar dalam arti yang berguna. Persamaan kuartik juga memilikinya, tetapi mulai derajat lima tidak ada penyelesaian umum dengan akar: Abel dan Ruffini membuktikannya, dan Galois menjelaskan alasannya. Persamaan berderajat lebih tinggi diselesaikan secara numerik, bukan dengan memasukkan nilai ke dalam rumus.
Mengapa disebutkan bahwa sebuah akar ganda atau tripel?
Karena persamaan kubik selalu memiliki tiga akar bila dihitung dengan multiplisitasnya, dan mengetahui bahwa dua di antaranya menyatu memberi tahu bentuk kurvanya: pada akar ganda, kurva menyentuh sumbu lalu berbalik alih-alih memotongnya. Mencetak bilangan yang sama dua kali tidak akan mengatakan hal itu.
Apa gunanya titik belok?
Titik belok adalah pusat simetri kurva — setiap kurva kubik simetris terhadapnya — dan titik itulah yang dipindahkan substitusi standar ke titik asal untuk menghilangkan suku kuadrat. Perannya sama dengan titik puncak pada parabola.
Perlu diketahui
- Jalur eksak membutuhkan koefisien bulat, atau desimal yang bisa diskalakan menjadi bulat, hingga sepuluh ribu. Di atas itu jalur numerik yang menjawab; jalur ini akurat tetapi tidak bisa memastikan bahwa sebuah akar berulang.