Giải phương trình bậc ba
Giải ax³ + bx² + cx + d = 0: cả ba nghiệm, kể cả nghiệm phức, và nghiệm nguyên được viết dưới dạng số nguyên.
Chạy hoàn toàn trong trình duyệt của bạn. Không có gì được tải lên, ghi log hay lưu trữ.
Nghiệm
1 ; 2 ; 3
- Loại nghiệm
- ba nghiệm thực phân biệt
- Biệt thức
- 4
- Cách giải
- chính xác, bằng cách tách một nghiệm hữu tỉ thành nhân tử
- Điểm uốn
- (2; 0)
Mọi phương trình bậc ba đều có ba nghiệm và ít nhất một trong số đó là nghiệm thực, đó là điểm khác biệt đầu tiên so với phương trình bậc hai: một đường cong đi từ âm vô cùng đến dương vô cùng thì phải cắt trục ở đâu đó. Công cụ này đưa ra cả ba nghiệm, cho biết nghiệm nào là nghiệm bội và viết nghiệm nguyên dưới dạng số nguyên.
Cách hoạt động
Trước tiên, các nghiệm hữu tỉ được tìm. Nếu một phương trình bậc ba có hệ số nguyên có một nghiệm p/q tối giản, thì p là ước của hệ số tự do và q là ước của hệ số cao nhất, nên có một danh sách ứng viên ngắn và mỗi ứng viên có thể được thử bằng số nguyên, không làm tròn ở bất kỳ đâu. Một nghiệm tìm được theo cách đó sẽ được chia ra, và phần còn lại là một phương trình bậc hai.
Đó không phải là lối tắt, mà là sự khác biệt giữa cái đúng và cái trông có vẻ đúng. Lời giải dạng đóng của phương trình bậc ba vấp phải casus irreducibilis: đúng vào lúc cả ba nghiệm đều thực, công thức lại đi qua căn bậc ba của số phức, nên trong thực tế người ta dùng dạng lượng giác, và dạng đó trả lời x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 bằng 0,9999999998 thay vì 1. Làm tròn phần hiển thị sẽ che đi điều đó, nhưng không che được tác hại thật: với số dấu phẩy động, biệt thức không bao giờ đúng bằng không, nên một nghiệm bội ba trông như ba nghiệm riêng biệt tình cờ được in ra giống nhau.
Phương trình không có nghiệm hữu tỉ được giải bằng phương pháp số: phép thế x = t − b/3a loại bỏ số hạng bậc hai, rồi dạng lượng giác hoặc công thức Cardano sẽ trả lời tùy theo dấu của biệt thức. Trang cho biết đã đi theo đường nào trong hai đường, vì một đường cho giá trị chính xác còn đường kia cho sáu chữ số thập phân.
Ví dụ
| Trường hợp | Dữ liệu nhập | Kết quả |
|---|---|---|
| Ba nghiệm nguyên | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 và 3 |
| Một nghiệm bội ba | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, ba lần |
| Một nghiệm phân số | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ và 2 |
| Một nghiệm thực và hai nghiệm phức | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Câu hỏi thường gặp
Mọi phương trình bậc ba đều giải được bằng công thức?
Đúng, và đó là bậc cuối cùng mà điều này còn đúng theo nghĩa hữu ích. Phương trình bậc bốn cũng có công thức, nhưng từ bậc năm trở lên không có lời giải tổng quát bằng căn thức: Abel và Ruffini đã chứng minh điều đó, và Galois giải thích vì sao. Phương trình bậc cao hơn được giải bằng phương pháp số, không phải bằng cách thay vào công thức nào.
Vì sao trang nói một nghiệm là nghiệm kép hay nghiệm bội ba?
Vì một phương trình bậc ba luôn có ba nghiệm khi đã tính cả bội, và biết rằng hai trong số đó trùng nhau cho bạn biết hình dạng của đường cong: tại một nghiệm kép, nó chạm trục rồi quay lại thay vì cắt qua. In cùng một số hai lần thì không nói lên được điều đó.
Điểm uốn dùng để làm gì?
Đó là tâm đối xứng của đường cong — mọi đường bậc ba đều đối xứng qua điểm này — và là điểm mà phép thế tiêu chuẩn dời về gốc tọa độ để loại bỏ số hạng bậc hai. Nó đóng vai trò mà đỉnh đóng ở một parabol.
Cần biết
- Đường chính xác cần hệ số nguyên, hoặc số thập phân có thể nhân lên thành số nguyên, tối đa mười nghìn. Vượt quá mức đó, đường giải số sẽ trả lời, đường này chính xác cao nhưng không thể xác nhận một nghiệm là nghiệm bội.