Derdegraadsvergelijking oplossen
Los ax³ + bx² + cx + d = 0 op: alle drie de wortels, ook de complexe, en gehele wortels geschreven als gehele getallen.
Draait volledig in je browser. Er wordt niets geüpload, gelogd of opgeslagen.
Wortels
1 ; 2 ; 3
- Soort oplossing
- drie verschillende reële wortels
- Discriminant
- 4
- Hoe het is opgelost
- exact, door een rationale wortel buiten haakjes te halen
- Buigpunt
- (2; 0)
Elke derdegraadsvergelijking heeft drie wortels en minstens één daarvan is reëel – het eerste verschil met een vierkantsvergelijking: een kromme die van min oneindig naar plus oneindig loopt, moet de as ergens snijden. Deze tool geeft alle drie, zegt welke samenvallen en schrijft een gehele wortel als geheel getal.
Hoe het werkt
Eerst worden de rationale wortels gezocht. Als een derdegraadsvergelijking met gehele coëfficiënten een wortel p/q in vereenvoudigde vorm heeft, dan deelt p de constante term en q de hoogste coëfficiënt, dus er is een korte lijst kandidaten en elke kandidaat kan met gehele getallen worden getest, zonder ergens af te ronden. Een wortel die zo gevonden is, wordt eruit gedeeld, en wat overblijft is een vierkantsvergelijking.
Dat is geen kortere weg, het is het verschil tussen juist en juist lijken. De gesloten oplossing van een derdegraadsvergelijking loopt tegen de casus irreducibilis aan: juist wanneer alle drie de wortels reëel zijn, gaat de formule via derdemachtswortels van complexe getallen, dus in de praktijk gebruikt men de goniometrische vorm, en die beantwoordt x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 met 0,9999999998 in plaats van 1. Afronden van wat getoond wordt zou dat verbergen, maar niet de echte schade: met drijvende komma is de discriminant nooit precies nul, dus een drievoudige wortel ziet eruit als drie afzonderlijke wortels die toevallig hetzelfde worden afgedrukt.
Wat geen rationale wortel heeft, wordt numeriek opgelost: de substitutie x = t − b/3a verwijdert de kwadratische term, en daarna antwoordt de goniometrische vorm of die van Cardano, afhankelijk van het teken van de discriminant. De pagina zegt welke van de twee routes is genomen, omdat de ene exacte waarden geeft en de andere zes decimalen.
Voorbeelden
| Geval | Invoer | Resultaat |
|---|---|---|
| Drie gehele wortels | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 en 3 |
| Een drievoudige wortel | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, drie keer |
| Een gebroken wortel | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ en 2 |
| Eén reële en twee complexe | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Veelgestelde vragen
Is elke derdegraadsvergelijking met een formule op te lossen?
Ja, en het is de laatste graad waarvoor dat in een bruikbare zin geldt. De vierdegraadsvergelijking heeft er ook een, maar vanaf de vijfde graad bestaat er geen algemene oplossing met wortels: Abel en Ruffini bewezen het, en Galois legde uit waarom. Vergelijkingen van hogere graad worden numeriek opgelost, niet door iets in te vullen.
Waarom staat er dat een wortel dubbel of drievoudig is?
Omdat een derdegraadsvergelijking altijd drie wortels heeft, geteld met hun multipliciteit, en weten dat twee ervan samenvallen vertelt je de vorm van de kromme: bij een dubbele wortel raakt ze de as en keert ze om in plaats van hem te snijden. Twee keer hetzelfde getal afdrukken zou dat niet zeggen.
Waar is het buigpunt voor?
Het is het symmetriecentrum van de kromme – elke derdegraadskromme is er puntsymmetrisch in – en het is wat de standaardsubstitutie naar de oorsprong verplaatst om van de kwadratische term af te komen. Het speelt de rol die de top bij een parabool speelt.
Goed om te weten
- De exacte route vraagt gehele coëfficiënten, of decimale getallen die naar gehele getallen schalen, tot tienduizend. Daarboven antwoordt de numerieke route, die nauwkeurig is maar niet kan garanderen dat een wortel meervoudig is.