Üçüncü Dereceden Denklem Çözücü
ax³ + bx² + cx + d = 0 denklemini çözün: karmaşık olanlar dahil üç kök; tam sayı olanlar tam sayı olarak yazılır.
Tamamen tarayıcınızda çalışır. Hiçbir şey yüklenmez, günlüğe yazılmaz veya saklanmaz.
Kökler
1 ; 2 ; 3
- Çözümün türü
- üç farklı gerçek kök
- Diskriminant
- 4
- Nasıl çözüldü
- tam olarak, rasyonel bir kök çarpan olarak ayrılarak
- Büküm noktası
- (2; 0)
Üçüncü dereceden her denklemin üç kökü vardır ve en az biri gerçektir; onu ikinci dereceden bir denklemden ayıran ilk şey budur: eksi sonsuzdan artı sonsuza giden bir eğri ekseni bir yerde kesmek zorundadır. Bu araç üçünü de verir, hangilerinin tekrarlandığını söyler ve tam sayı bir kökü tam sayı olarak yazar.
Nasıl çalışır
Önce rasyonel kökler aranır. Tam sayı katsayılı bir kübik denklemin sadeleşmiş p/q biçiminde bir kökü varsa p sabit terimi, q da baş katsayıyı böler; bu yüzden kısa bir aday listesi vardır ve her biri hiçbir yerde yuvarlama olmadan tam sayılarla denenebilir. Bu şekilde bulunan bir kök bölünerek ayrılır ve geriye ikinci dereceden bir denklem kalır.
Bu bir kısayol değil; doğru olanla doğru görünen arasındaki farktır. Kübik denklemin kapalı biçimli çözümü casus irreducibilis'e takılır: tam da üç kök gerçek olduğunda formül karmaşık sayıların küp köklerinden geçer; bu yüzden pratikte trigonometrik biçim kullanılır ve o da x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 denklemine 1 yerine 0,9999999998 ile yanıt verir. Gösterileni yuvarlamak bunu gizlerdi ama asıl zararı gizlemezdi: kayan noktalı aritmetikte diskriminant hiçbir zaman tam olarak sıfır olmaz, bu yüzden üç katlı bir kök, yalnızca aynı biçimde yazdırılan üç ayrı kök gibi görünür.
Rasyonel kökü olmayanlar sayısal olarak çözülür: x = t − b/3a dönüşümü ikinci dereceden terimi yok eder, ardından diskriminantın işaretine göre trigonometrik biçim ya da Cardano biçimi yanıt verir. Sayfa iki yoldan hangisinin izlendiğini söyler, çünkü biri tam değerler, diğeri altı ondalık basamak verir.
Örnekler
| Durum | Girdi | Sonuç |
|---|---|---|
| Üç tam sayı kök | x³ − 6x² + 11x − 6 | 1, 2 ve 3 |
| Üç katlı bir kök | x³ − 3x² + 3x − 1 | 1, üç kez |
| Kesirli bir kök | 2x³ − 3x² − 3x + 2 | −1, ½ ve 2 |
| Bir gerçek, iki karmaşık kök | x³ − 8 | 2, −1 ± i√3 |
Sık sorulan sorular
Her kübik denklem bir formülle çözülebilir mi?
Evet ve bu, yararlı bir anlamda doğru olduğu son derecedir. Dördüncü dereceden denklemin de bir formülü vardır ama beşinci dereceden itibaren köklerle (radikallerle) genel bir çözüm yoktur: bunu Abel ve Ruffini kanıtladı, nedenini de Galois açıkladı. Daha yüksek dereceden denklemler bir formülde yerine koyarak değil, sayısal olarak çözülür.
Neden bir kökün iki katlı ya da üç katlı olduğunu söylüyor?
Çünkü bir kübik denklemin katlılıklarıyla sayıldığında her zaman üç kökü vardır ve ikisinin çakıştığını bilmek size eğrinin biçimini söyler: iki katlı bir kökte eğri ekseni kesmek yerine ona değip geri döner. Aynı sayıyı iki kez yazdırmak bunu söylemezdi.
Büküm noktası ne işe yarar?
Eğrinin simetri merkezidir (her kübik eğri ona göre simetriktir) ve standart dönüşümün, ikinci dereceden terimden kurtulmak için orijine taşıdığı noktadır. Bir parabolde tepe noktasının gördüğü işi görür.
Bilmekte fayda var
- Tam yol, on bine kadar tam sayı katsayılar ya da tam sayıya ölçeklenebilen ondalık katsayılar gerektirir. Bunun ötesinde sayısal yol yanıt verir; o da hassastır ama bir kökün tekrarlandığını kesin olarak doğrulayamaz.