体積・表面積計算
10種類の立体の体積と表面積を計算します。それぞれ図を描き、入力した数値を当てはめた公式を表示します。
-
体積 60
V = w × d × h
V = 3 × 4 × 5
-
表面積 94
S = 2 × (wd + wh + dh)
S = 2 × (34 + 35 + 45)
-
空間対角線 7.071068
D = √(w² + d² + h²)
D = √(3² + 4² + 5²)
立体を選んで寸法を入力すると、体積、表面積、そしてその寸法から決まるほかのすべての値（母線、対角線、底面を除いた側面積など）が得られます。
すべての答えは図で描かれ、すべての公式は2回表示されます。書かれたままの形と、入力した数値を当てはめた形です。信用して受け入れるしかない数値は1つもありません。
仕組み
図は等角投影で描かれています。これは知っておく価値があります。図が何を伝え、何を伝えないかを決めるからです。3つの軸方向の長さは比率が正確に保たれるので、高さが幅の2倍の直方体はそのとおりに描かれ、1の立方体と1,000の立方体は同じ絵になります。角度は保たれません。直方体の角の直角は120度や60度になり、横たわった円は楕円として描かれます。それは投影によるもので、立体そのものの性質ではありません。
混同しやすい寸法が2つあり、どちらも区別できる名前で入力を求めています。円錐の高さは底面の中心からまっすぐ上に測ったもので、母線は外側に沿った距離です。側面積に必要なのは母線のほうです。そこで高さを使ってしまうのが、円錐で最もよくある間違いです。
円錐台は等しい半径を拒否しません。公式はそのまま円柱の式になり、それが正しい答えであって、拒否すべきケースではありません。
寸法には単位がありません。センチメートルで入力すれば、体積は立方センチメートル、表面積は平方センチメートルで出ます。
例
| ケース | 入力 | 結果 |
|---|---|---|
| 球 | 球、半径5 | 体積523.5988、表面積314.1593 |
| 円柱 | 円柱、半径3、高さ10 | 体積282.7433、表面積245.0442 |
よくある質問
楕円体の表面積は厳密ですか？
いいえ。このページで厳密でない唯一の数値です。初等関数による公式が存在しません。表示しているのはクヌート・トムセン（Knud Thomsen）の近似式で、理論から導いたものではなく当てはめによるものです。厳密な式がある楕円体で比べると、誤差は2対1で約0.06%、5対1で約0.75%で、どれほど細長くしても1.06%を超えることはありません。これは面積のページの楕円の周長よりずっと粗く、両者を同じ信頼度のものとして読むべきではありません。隣に表示される体積は厳密です。
側面積が別に表示されるのはなぜですか？
たいていそれが知りたい値だからです。缶にラベルを巻く、サイロを塗装する、カバーを裁断する。どれにも上下の面は関係しません。合計も表示するので、どちらかからもう一方を計算する必要はありません。
高さと母線、どちらを入力しますか？
高さを入力すると、母線は答えとして返ってきます。高さは底面の中心からまっすぐ上に測ったもので、母線は外側に沿ったものです。正四角錐には母線が2つあり、両方を表示します。展開図に必要な面の中央を通るものと、骨組みに必要な側辺に沿ったものです。
立体が線のように見えるのはなぜですか？
実際に線のような形だからです。図は3つの寸法の比率を保つので、1×1×10,000の直方体は線として描かれます。直方体らしく見せるために幅を広げることはせず、そうなった場合はページがその旨を表示します。
図からわからないことは何ですか？
角度と、角度に依存するすべてのものです。等角投影では直角は120度や60度に、横たわった円は楕円に描かれます。図を分度器で測ってわかるのは投影であって、立体ではありません。正確なのは3つの軸方向の長さです。
知っておきたいこと
- ここでの公式はすべて厳密ですが、楕円体の表面積だけは厳密な式がなく、表示される箇所すべてで近似値と明記しています。
- 図が保つのは3つの寸法の比率だけです。形と比率を示すもので、縮尺を示すことはなく、測れる角度を示すこともありません。