Volumen- und Oberflächenrechner
Volumen und Oberfläche von zehn Körpern, jeder gezeichnet und jede Formel mit Ihren Zahlen darin gezeigt.
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Volumen 60
V = w × d × h
V = 3 × 4 × 5
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Oberfläche 94
S = 2 × (wd + wh + dh)
S = 2 × (34 + 35 + 45)
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Raumdiagonale 7,071068
D = √(w² + d² + h²)
D = √(3² + 4² + 5²)
Wählen Sie einen Körper, geben Sie ihm seine Maße, und bekommen Sie das Volumen, die Oberfläche und alles andere, was diese Maße festlegen — eine Mantellinie, eine Diagonale, die Fläche der Seiten ohne die Enden.
Jede Antwort wird gezeichnet, und jede Formel wird zweimal gezeigt: wie sie geschrieben steht und mit Ihren Zahlen darin. Nichts ist eine Zahl, die man glauben soll.
Wie es funktioniert
Die Zeichnung ist eine isometrische Projektion, und das zu wissen lohnt sich, denn es entscheidet, was das Bild sagt und was nicht. Längen entlang aller drei Achsen behalten ihre Verhältnisse genau, ein Kasten, der doppelt so hoch wie breit ist, wird also so gezeichnet, und ein Würfel von 1 und einer von 1000 sind dasselbe Bild. Winkel bleiben nicht erhalten: Der rechte Winkel an einer Kastenecke kommt als 120 oder 60 Grad heraus, und ein flach liegender Kreis wird als Ellipse gezeichnet. Das ist die Projektion und nicht der Körper.
Zwei Maße lassen sich leicht verwechseln, und nach beiden wird mit dem Namen gefragt, der sie unterscheidet. Die Höhe eines Kegels geht senkrecht von der Mitte seiner Grundfläche aus; die Mantellinie ist der Weg außen hinauf, und die Mantellinie ist es, was die Mantelfläche braucht. Dort die Höhe zu nehmen ist der häufigste Fehler bei einem Kegel.
Der Kegelstumpf lehnt gleiche Radien nicht ab. Die Formeln vereinfachen sich von selbst zu einem Zylinder, und das ist die richtige Antwort und kein Fall, den man abweisen müsste.
Die Maße haben keine Einheit. Geben Sie Zentimeter, und das Volumen steht in Kubikzentimetern und die Oberfläche in Quadratzentimetern.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Eine Kugel | Kugel, Radius 5 | Volumen 523,5988, Oberfläche 314,1593 |
| Ein Zylinder | Zylinder, Radius 3, Höhe 10 | Volumen 282,7433, Oberfläche 245,0442 |
Häufige Fragen
Ist die Oberfläche eines Ellipsoids exakt?
Nein, und es ist die einzige Zahl auf dieser Seite, die es nicht ist. Eine Formel dafür in elementaren Funktionen gibt es nicht. Gezeigt wird Knud Thomsens Näherung, die angepasst und nicht hergeleitet ist. Gegen die exakte Formel für die Ellipsoide gemessen, die eine haben, liegt sie bei zwei zu eins um rund 0,06 Prozent daneben, bei fünf zu eins um 0,75 Prozent und nie schlechter als 1,06 Prozent, wie weit sie auch gestreckt wird. Das ist weit lockerer als der Ellipsenumfang auf der Flächenseite, und die beiden sollten nicht als gleich vertrauenswürdig gelesen werden. Das Volumen daneben ist exakt.
Warum steht die Mantelfläche getrennt da?
Weil sie meist die ist, die Sie wollen. Ein Etikett um eine Dose wickeln, ein Silo streichen, eine Manschette zuschneiden: Bei keinem davon sind die Enden beteiligt. Die Gesamtfläche steht auch da, keine von beiden muss also aus der anderen errechnet werden.
Höhe oder Mantellinie?
Höhe, und die Mantellinie kommt als Antwort zurück. Die Höhe geht senkrecht von der Mitte der Grundfläche aus; die Mantellinie außen hinauf. Bei einer quadratischen Pyramide gibt es zwei, und beide werden gegeben: die über die Mitte einer Seitenfläche, die ein Schnittmuster braucht, und die über eine Eckkante, die ein Gestell braucht.
Warum sieht mein Körper wie eine Linie aus?
Weil er eine ist. Die Zeichnung behält die Verhältnisse aller drei Abmessungen, ein Kasten von 1 mal 1 mal 10000 wird also als Linie gezeichnet. Nichts wird verbreitert, damit es einem Kasten ähnlicher sieht, und die Seite sagt es, wenn es passiert.
Was kann mir die Zeichnung nicht sagen?
Winkel, und alles, was von ihnen abhängt. Eine isometrische Projektion zeichnet einen rechten Winkel als 120 oder 60 Grad und einen flachen Kreis als Ellipse. Das Bild mit einem Winkelmesser zu messen gibt die Projektion und nicht den Körper. Die Längen entlang der drei Achsen sind der Teil, der treu ist.
Gut zu wissen
- Jede Formel hier ist exakt außer der Oberfläche eines Ellipsoids, die keine exakte Form hat und überall, wo sie auftaucht, als Näherung gekennzeichnet ist.
- Die Zeichnung behält die Verhältnisse der drei Abmessungen und sonst nichts. Sie zeigt Form und Verhältnis, nie den Maßstab und nie einen Winkel, den Sie messen könnten.