Flächen- und Umfangsrechner
Fläche und Umfang von neun ebenen Formen, jede maßstabsgetreu mit den angegebenen Maßen gezeichnet.
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Fläche 12
A = w × h
A = 3 × 4
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Umfang 14
P = 2 × (w + h)
P = 2 × (3 + 4)
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Diagonale 5
d = √(w² + h²)
d = √(3² + 4²)
Wählen Sie eine Form, geben Sie ihr ihre Maße, und bekommen Sie die Fläche, den Umfang und alles andere, was diese Maße festlegen — eine Diagonale, ein Apothema, einen Bogen.
Jede Antwort wird gezeichnet. Die Figur ist maßstabsgetreu zu sich selbst, dieselbe Form in jeder Größe gibt also dasselbe Bild, und ein Rechteck, das wirklich hundertmal länger als breit ist, sieht auch so aus.
Wie es funktioniert
Jede Form benutzt die Formel, die zu ihr gehört, und jede davon ist exakt — mit einer einzigen Ausnahme, die laut gesagt und nicht verborgen wird. Der Umfang einer Ellipse lässt sich in elementaren Funktionen überhaupt nicht hinschreiben: Er ist ein elliptisches Integral, und daher hat diese Funktionenfamilie ihren Namen. Gezeigt wird hier Ramanujans zweite Näherung, und die Seite kennzeichnet sie als Näherung, wo immer sie auftaucht. Wie nah sie ist, hängt davon ab, wie gestreckt die Ellipse ist: besser als eins zu einer Milliarde bis etwa zwei zu eins, rund eins zu hunderttausend bei zehn zu eins und rund zwei zu zehntausend bei hundert zu eins, und nie mehr als vier, wie flach sie auch wird.
Das Trapez fragt nach allen vier Seiten statt nach den beiden parallelen und einer Höhe. Das ist keine Kleinlichkeit: Die beiden parallelen Seiten und die Höhe legen die Fläche fest und sagen über den Umfang überhaupt nichts, denn die Schenkel können sich neigen, wie sie wollen, ohne eine dieser drei Zahlen zu ändern. Vier Seiten legen die Form fest, und die Höhe fällt daraus.
Ein Kreisring hat zwei Ränder, sein Umfang sind also beide Kreise zusammen. Der Umfang eines Sektors ist sein Bogen plus die beiden geraden Radien und nicht der Bogen allein — der Bogen steht getrennt da, denn das ist meist die Zahl, derentwegen man gekommen ist.
Die Maße haben hier keine Einheit. Geben Sie Zentimeter, und die Fläche steht in Quadratzentimetern; geben Sie Meilen, und sie steht in Quadratmeilen. Winkel sind in Grad, hinein wie heraus.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Ein Sechseck mit Seite 1 | Regelmäßiges Vieleck, 6 Seiten, Seite 1 | Fläche 2,598076, Umfang 6, Apothema 0,866025 |
| Ein rechtwinkliges Trapez | Trapez, 8 / 4 / 3 / 5 | Höhe 3, Fläche 18, Umfang 20 |
| Vier Seiten, die nichts schließen | Trapez, 10 / 1 / 2 / 2 | abgelehnt — die Schenkel können den Unterschied nicht überbrücken |
Häufige Fragen
Wie unterscheidet sich das vom Dreiecksrechner?
Diese Seite nimmt die drei Seiten und gibt die Fläche und den Umfang, neben acht anderen Formen. Der Dreiecksrechner nimmt beliebige drei Angaben — Seiten, Winkel oder eine Mischung —, gibt jede übrige und findet das zweite Dreieck in dem Fall, in dem zwei zu denselben Angaben passen. Beide benutzen darunter denselben Code, sie widersprechen einander also nie.
Warum will das Trapez vier Seiten?
Weil die beiden parallelen Seiten und die Höhe, also das, was die Schule lehrt, nicht ein Trapez beschreiben. Unendlich viele teilen diese drei Zahlen und sie haben verschiedene Umfänge. Auch nach den Schenkeln zu fragen entscheidet es, und die Höhe wird dann berechnet statt erfragt.
Ist der Ellipsenumfang exakt?
Nein, und es ist die einzige Zahl auf dieser Seite, die es nicht ist. Keine Formel in elementaren Funktionen gibt ihn. Die hier benutzte Näherung stimmt mit dem wahren Umfang auf rund zehn Nachkommastellen überein, solange die Ellipse höchstens doppelt so lang wie breit ist, und verliert an Genauigkeit, je weiter sie gestreckt wird — grob fünf Nachkommastellen bei zehn zu eins und vier bei hundert zu eins. Die Fläche daneben ist bei jeder Form exakt.
Warum ist meine Form als Linie gezeichnet?
Weil sie eine ist. Die Figur ist maßstabsgetreu gezeichnet, ein Rechteck von 1 mal 10000 kommt also als Linie heraus — nichts wird verbreitert, damit es einem Rechteck ähnlicher sieht. Die Seite sagt es, wenn es passiert, statt es wie einen Fehler aussehen zu lassen.
In welcher Einheit stehen die Antworten?
In der, die Sie mitgebracht haben. Die Rechnung ist einheitenlos: Längen kommen in Ihrer Längeneinheit zurück und Flächen in deren Quadrat. Müssen Sie die Einheit danach ändern, sind der Flächen- und der Längen-Umrechner unten verlinkt.
Gut zu wissen
- Jede Formel hier ist exakt außer dem Umfang einer Ellipse, der keine exakte Form hat und überall, wo er auftaucht, als Näherung gekennzeichnet ist.
- Die Figur zeigt Form und Verhältnis, nie den Maßstab. Drei Zahlen ohne Einheit lassen sich nicht ehrlich in einer Größe zeichnen.