Kombinacje i permutacje
Policz, na ile sposobów można wybrać r rzeczy spośród n – z kolejnością lub bez, z powtórzeniami lub bez.
Działa w całości w twojej przeglądarce. Nic nie jest wysyłane, logowane ani przechowywane.
Liczba sposobów
13983816
- Zastosowany wzór
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Liczba cyfr wyniku
- 8
Dwa pytania decydują, którego z czterech wariantów potrzebujesz: czy kolejność, w jakiej rzeczy się pojawiają, ma znaczenie? I czy tę samą rzecz można wybrać dwa razy? Każde zadanie z kombinatoryki, które ludzie rozwiązują źle, to takie, w którym na te pytania odpowiedziano, zanim je w ogóle zadano.
Jak to działa
Losowanie w lotto to kombinacja: sześć liczb z czterdziestu dziewięciu, a kolejność, w jakiej padają, niczego nie zmienia. Podium to permutacja: pierwsze, drugie i trzecie miejsce to trzy różne wyniki z tymi samymi trzema osobami. Czterocyfrowy PIN to permutacja z powtórzeniami, bo 1111 jest dozwolone.
Wyniki niemal od razu wychodzą poza zakres liczby całkowitej maszyny – 21! już wychodzi – więc arytmetyka działa tu na ciągach cyfr dziesiętnych, cyfra po cyfrze. Przybliżona liczba ustawień nie jest liczbą niczego, a wynik zmiennoprzecinkowy przestaje być dokładny w okolicy szesnastu cyfr, nigdy o tym nie mówiąc.
Kombinacje buduje się, mnożąc i dzieląc na przemian, zamiast liczyć trzy silnie i dzielić na końcu. Każdy wynik pośredni sam jest liczbą całkowitą, więc cyfry nie narastają ponad rozmiar wyniku.
Przykłady
| Przypadek | Dane wejściowe | Wynik |
|---|---|---|
| Losowanie w lotto: kolejność nie ma znaczenia | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Podium: kolejność ma znaczenie | P(10, 3) | 720 |
| Czterocyfrowy PIN: powtórzenia dozwolone | 10^4 | 10 000 |
| Większa niż jakakolwiek liczba całkowita maszynowa | C(1000, 500) | liczba 300-cyfrowa, dokładna |
Najczęściej zadawane pytania
Którego wariantu potrzebuję?
Zapytaj, czy zamiana miejscami dwóch wybranych rzeczy daje inny wynik. Jeśli tak, potrzebujesz permutacji; jeśli nie – kombinacji. Potem zapytaj, czy tę samą rzecz można wybrać dwa razy: rzut kośćmi – tak, rozdanie kart – nie.
Dlaczego C(49, 6) to liczba zakładów w lotto?
Bo losowanie to sześć liczb z czterdziestu dziewięciu bez powtórzeń, a kolejność ich losowania nie zmienia zakładu. 13 983 816 to liczba różnych możliwych zakładów – i zarazem szansa na wygraną któregokolwiek z nich: jedna na tyle.
Dlaczego granica wynosi 1000?
Nie dlatego, że arytmetyka się psuje – nie psuje się – tylko dlatego, że wynik przestaje być czytelny. 1000! to liczba o 2568 cyfrach; 100000! to byłoby kilka stron cyfr, o które nikt nie prosił.
Czy zero do potęgi zerowej to tutaj jeden?
Tak. Istnieje dokładnie jeden sposób, by ułożyć nic z niczego – ustawienie puste – i tej konwencji kombinatoryka trzyma się od początku do końca.
Warto wiedzieć
- Każdy wynik jest dokładny, niezależnie od liczby cyfr. Nic tu nie jest zaokrąglane ani zapisywane w notacji naukowej.
Wszystkie narzędzia z kategorii Matematyka