Kombinationen und Permutationen
Zählen, auf wie viele Arten sich r Dinge aus n wählen lassen — mit oder ohne Reihenfolge, mit oder ohne Wiederholung.
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Wie viele Arten
13983816
- Die angewandte Formel
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Stellen in der Antwort
- 8
Zwei Fragen entscheiden, welche der vier Sie brauchen: Spielt die Reihenfolge eine Rolle, in der sie herauskommen, und darf dasselbe zweimal gewählt werden? Jedes Kombinatorikproblem, das Leute falsch machen, ist eines, in dem diese Fragen beantwortet wurden, ohne gestellt zu werden.
Wie es funktioniert
Eine Lottoziehung ist eine Kombination: sechs Zahlen aus neunundvierzig, und die Reihenfolge, in der sie rollen, ändert nichts. Ein Siegerpodest ist eine Permutation: Erster, Zweiter und Dritter sind drei verschiedene Ausgänge mit denselben drei Leuten. Eine vierstellige PIN ist eine Permutation mit Wiederholung, denn 1111 ist erlaubt.
Die Anzahlen wachsen fast sofort über eine Maschinenzahl hinaus — 21! tut es schon —, die Arithmetik läuft hier daher auf Dezimalketten, Ziffer für Ziffer. Eine ungefähre Zahl von Anordnungen ist keine Zahl von irgendetwas, und eine Gleitkommaantwort hört bei etwa sechzehn Stellen auf, exakt zu sein, ohne es je zu sagen.
Kombinationen werden gebaut, indem abwechselnd multipliziert und dividiert wird, statt drei Fakultäten zu berechnen und am Ende zu teilen. Jedes Zwischenergebnis ist selbst eine ganze Zahl, die Stellen türmen sich also nie über die Antwort hinaus.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Eine Lottoziehung — die Reihenfolge zählt nicht | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Ein Siegerpodest — die Reihenfolge zählt | P(10, 3) | 720 |
| Eine vierstellige PIN — Wiederholung erlaubt | 10^4 | 10 000 |
| Größer als jede Maschinenzahl | C(1000, 500) | eine Zahl mit 300 Stellen, exakt |
Häufige Fragen
Welche brauche ich?
Fragen Sie, ob zwei der gewählten Dinge zu vertauschen einen anderen Ausgang ergibt. Wenn ja, wollen Sie Permutationen; wenn nein, Kombinationen. Fragen Sie dann, ob dasselbe zweimal gewählt werden kann — ein Würfelwurf kann es, ein Kartenblatt nicht.
Warum ist C(49, 6) die Zahl der Lottoscheine?
Weil eine Ziehung sechs Zahlen aus neunundvierzig ohne Wiederholung ist und die Reihenfolge der Ziehung den Schein nicht ändert. 13 983 816 ist, wie viele verschiedene Scheine es gibt, und das ist zugleich die Gegenwahrscheinlichkeit für einen davon.
Warum die Grenze bei 1000?
Nicht, weil die Arithmetik zerbräche — das tut sie nicht —, sondern weil die Antwort aufhört, lesbar zu sein. 1000! ist eine Zahl mit 2568 Stellen; 100000! wären mehrere Seiten Ziffern, nach denen niemand gefragt hat.
Ist null hoch null hier eins?
Ja. Es gibt genau eine Art, nichts aus nichts anzuordnen — die leere Anordnung —, und das ist die Konvention, die die Kombinatorik durchgehend benutzt.
Gut zu wissen
- Jede Antwort ist exakt, über wie viele Stellen sie auch läuft. Nichts hier wird gerundet oder in wissenschaftlicher Schreibweise geschrieben.