Combinaisons et arrangements
Compter les façons de choisir r objets parmi n — avec ou sans ordre, avec ou sans répétition.
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Nombre de façons
13983816
- Formule appliquée
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Chiffres dans la réponse
- 8
Deux questions décident laquelle des quatre vous voulez : l'ordre de sortie compte-t-il, et peut-on prendre deux fois la même chose ? Tous les problèmes de dénombrement qu'on rate sont ceux où l'on y a répondu sans se les poser.
Comment ça marche
Un tirage de loto est une combinaison : six numéros sur quarante-neuf, et l'ordre de sortie ne change rien. Un podium est un arrangement : premier, deuxième et troisième font trois issues différentes avec les mêmes trois personnes. Un code à quatre chiffres est un arrangement avec répétition, puisque 1111 est permis.
Les comptes dépassent la capacité d'un entier machine presque tout de suite — 21! le fait déjà — donc l'arithmétique tourne ici sur des chaînes de chiffres, chiffre par chiffre. Un compte approximatif d'arrangements n'est le compte de rien, et une réponse en virgule flottante cesse d'être exacte vers seize chiffres sans jamais le dire.
Les combinaisons sont construites en multipliant et divisant alternativement, plutôt qu'en calculant trois factorielles pour diviser à la fin. Chaque résultat partiel est lui-même un entier, donc les chiffres ne s'accumulent jamais au-delà de la réponse.
Exemples
| Cas | Saisie | Résultat |
|---|---|---|
| Un tirage de loterie — l'ordre est sans importance | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Un podium — l'ordre compte | P(10, 3) | 720 |
| Un code à quatre chiffres — répétitions autorisées | 10^4 | 10 000 |
| Plus grand que n'importe quel entier machine | C(1000, 500) | un nombre de 300 chiffres, exactement |
Questions fréquentes
De laquelle ai-je besoin ?
Demandez-vous si échanger deux des objets choisis donne une issue différente. Si oui, ce sont des arrangements ; sinon, des combinaisons. Demandez-vous ensuite si le même objet peut être pris deux fois — un lancer de dé le peut, une main de cartes non.
Pourquoi C(49, 6) donne-t-il le nombre de grilles de loto ?
Parce qu'un tirage, ce sont six numéros parmi quarante-neuf sans répétition, et que l'ordre de sortie ne change pas la grille. 13 983 816 est le nombre de grilles distinctes, ce qui est aussi la probabilité contre chacune d'elles.
Pourquoi la limite à 1000 ?
Non parce que l'arithmétique s'y casse — elle ne s'y casse pas — mais parce que la réponse cesse d'être lisible. 1000! est un nombre de 2568 chiffres ; 100000! occuperait plusieurs pages de chiffres que personne n'a demandées.
Zéro puissance zéro vaut-il un ici ?
Oui. Il existe exactement une façon d'arranger rien à partir de rien — l'arrangement vide — et c'est la convention qu'emploie le dénombrement du début à la fin.
Bon à savoir
- Chaque réponse est exacte, quel que soit son nombre de chiffres. Rien n'est arrondi ni écrit en notation scientifique.