Combinazioni e permutazioni
Conta in quanti modi si possono scegliere r cose tra n, con o senza ordine, con o senza ripetizioni.
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Quanti modi
13983816
- La formula applicata
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Cifre nella risposta
- 8
Due domande decidono quale delle quattro ti serve: conta l'ordine in cui escono? e si può scegliere due volte la stessa cosa? Tutti i problemi di calcolo combinatorio che la gente sbaglia sono quelli in cui a quelle domande si è risposto senza porsele.
Come funziona
Un'estrazione del lotto è una combinazione: sei numeri su quarantanove, e l'ordine in cui escono non cambia niente. Un podio è una permutazione: primo, secondo e terzo sono tre esiti diversi con le stesse tre persone. Un PIN di quattro cifre è una permutazione con ripetizione, perché 1111 è ammesso.
I conteggi superano quasi subito un intero di macchina — 21! lo fa già — quindi qui l'aritmetica lavora su stringhe decimali, cifra per cifra. Un conteggio approssimato di disposizioni non è il conteggio di niente, e una risposta in virgola mobile smette di essere esatta attorno alle sedici cifre senza dirlo mai.
Le combinazioni si costruiscono moltiplicando e dividendo alternativamente invece di calcolare tre fattoriali e dividere alla fine. Tutti i risultati parziali sono a loro volta numeri interi, quindi le cifre non si accumulano oltre la risposta.
Esempi
| Caso | Dati inseriti | Risultato |
|---|---|---|
| Un'estrazione del lotto: l'ordine non conta | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Un podio: l'ordine conta | P(10, 3) | 720 |
| Un PIN di quattro cifre: si può ripetere | 10^4 | 10 000 |
| Più grande di qualsiasi intero di macchina | C(1000, 500) | un numero di 300 cifre, esatto |
Domande frequenti
Quale mi serve?
Chiediti se scambiare due delle cose scelte dia un esito diverso. Se lo dà, vuoi le permutazioni; se non lo dà, le combinazioni. Poi chiediti se si possa scegliere due volte la stessa cosa: un lancio di dadi sì, una mano di carte no.
Perché C(49, 6) è il numero di schedine?
Perché un'estrazione sono sei numeri su quarantanove senza ripetizioni, e l'ordine in cui escono non cambia la schedina. 13 983 816 è quante schedine distinte esistono, che è anche la probabilità contraria a ciascuna di esse.
Perché il limite a 1000?
Non perché l'aritmetica si rompa — non si rompe — ma perché la risposta smette di essere leggibile. 1000! è un numero di 2568 cifre; 100000! sarebbe diverse pagine di cifre che nessuno ha chiesto.
Qui zero elevato a zero fa uno?
Sì. C'è esattamente un modo di disporre niente a partire da niente — la disposizione vuota — ed è la convenzione che il calcolo combinatorio usa dall'inizio alla fine.
Da sapere
- Tutte le risposte sono esatte, per quante cifre abbiano. Qui non si arrotonda niente e non si scrive niente in notazione scientifica.
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