Combinaciones y permutaciones
Cuenta de cuántas formas se pueden elegir r cosas de entre n, con o sin orden, con o sin repetición.
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Cuántas formas
13983816
- La fórmula aplicada
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Cifras de la respuesta
- 8
Dos preguntas deciden cuál de las cuatro quieres: ¿importa el orden en el que salen? y ¿se puede elegir dos veces la misma cosa? Todos los problemas de combinatoria que la gente hace mal son aquellos en los que esas preguntas se respondieron sin llegar a plantearse.
Cómo funciona
Un sorteo de lotería es una combinación: seis números de cuarenta y nueve, y el orden en el que salen no cambia nada. Un podio es una permutación: primero, segundo y tercero son tres resultados distintos con las mismas tres personas. Un PIN de cuatro cifras es una permutación con repetición, porque 1111 está permitido.
Los recuentos se salen de un entero de máquina casi enseguida —21! ya lo hace—, así que aquí la aritmética trabaja sobre cadenas decimales, dígito a dígito. Un recuento aproximado de disposiciones no es un recuento de nada, y una respuesta en coma flotante deja de ser exacta alrededor de los dieciséis dígitos sin decirlo nunca.
Las combinaciones se construyen multiplicando y dividiendo de forma alterna en lugar de calcular tres factoriales y dividir al final. Todos los resultados parciales son a su vez números enteros, así que los dígitos no se acumulan más allá de la respuesta.
Ejemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Un sorteo de lotería: el orden no importa | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Un podio: el orden importa | P(10, 3) | 720 |
| Un PIN de cuatro cifras: se permite repetir | 10^4 | 10 000 |
| Más grande que cualquier entero de máquina | C(1000, 500) | un número de 300 cifras, exacto |
Preguntas frecuentes
¿Cuál necesito?
Pregúntate si intercambiar dos de las cosas elegidas da un resultado distinto. Si lo da, quieres permutaciones; si no, combinaciones. Después pregúntate si se puede elegir dos veces la misma cosa: una tirada de dados sí, una mano de cartas no.
¿Por qué C(49, 6) es el número de boletos de lotería?
Porque un sorteo son seis números de cuarenta y nueve sin repetición, y el orden en que se extraen no cambia el boleto. 13 983 816 es cuántos boletos distintos existen, que es también la probabilidad en contra de cualquiera de ellos.
¿Por qué el límite en 1000?
No porque la aritmética se rompa —no se rompe—, sino porque la respuesta deja de ser legible. 1000! es un número de 2568 cifras; 100000! serían varias páginas de dígitos que nadie ha pedido.
¿Aquí cero elevado a cero es uno?
Sí. Hay exactamente una forma de disponer nada a partir de nada —la disposición vacía— y esa es la convención que usa la combinatoria de principio a fin.
Conviene saber
- Todas las respuestas son exactas, por muchas cifras que tengan. Aquí no se redondea nada ni se escribe nada en notación científica.
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