Combinações e Arranjos
Conte de quantos jeitos se escolhem r coisas entre n — com ou sem ordem, com ou sem repetição.
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De quantos jeitos
13983816
- A fórmula aplicada
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Dígitos na resposta
- 8
Duas perguntas decidem qual das quatro você quer: a ordem em que eles saem importa, e a mesma coisa pode ser escolhida duas vezes? Todo problema de combinatória que as pessoas erram é um em que essas duas foram respondidas sem ser feitas.
Como funciona
Um sorteio de loteria é uma combinação: seis números entre quarenta e nove, e a ordem em que eles saem não muda nada. Um pódio é um arranjo: primeiro, segundo e terceiro são três resultados diferentes com as mesmas três pessoas. Uma senha de quatro dígitos é um arranjo com repetição, porque 1111 é permitido.
As contagens estouram um inteiro de máquina quase de imediato — 21! já estoura — então a aritmética aqui roda sobre cadeias decimais, dígito a dígito. Uma contagem aproximada de arranjos não é contagem de coisa alguma, e uma resposta em ponto flutuante deixa de ser exata por volta de dezesseis dígitos sem jamais avisar.
As combinações são construídas multiplicando e dividindo alternadamente, e não calculando três fatoriais e dividindo no fim. Todo resultado parcial é ele mesmo um número inteiro, então os dígitos nunca se acumulam além da resposta.
Exemplos
| Caso | Entrada | Resultado |
|---|---|---|
| Um sorteio de loteria — a ordem não importa | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Um pódio — a ordem importa | P(10, 3) | 720 |
| Uma senha de quatro dígitos — repetição permitida | 10^4 | 10 000 |
| Maior que qualquer inteiro de máquina | C(1000, 500) | um número de 300 dígitos, exato |
Perguntas frequentes
De qual eu preciso?
Pergunte se trocar duas das coisas escolhidas dá um resultado diferente. Se dá, você quer arranjos; se não dá, combinações. Depois pergunte se a mesma coisa pode ser escolhida duas vezes — um lançamento de dado pode, uma mão de cartas não.
Por que C(49, 6) é o número de bilhetes de loteria?
Porque um sorteio são seis números entre quarenta e nove sem repetição, e a ordem em que são sorteados não muda o bilhete. 13 983 816 é quantos bilhetes distintos existem, que é também a chance contra qualquer um deles.
Por que o limite em 1000?
Não porque a aritmética quebre — ela não quebra — mas porque a resposta deixa de ser legível. 1000! é um número de 2568 dígitos; 100000! seriam várias páginas de dígitos que ninguém pediu.
Zero elevado a zero é um aqui?
É. Existe exatamente um jeito de arranjar nada a partir de nada — o arranjo vazio — e essa é a convenção que a combinatória usa em toda parte.
Bom saber
- Toda resposta é exata, por mais dígitos que ela tenha. Nada aqui é arredondado nem escrito em notação científica.
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