Kombinasi dan permutasi
Hitung berapa banyak cara memilih r benda dari n, dengan atau tanpa urutan, dengan atau tanpa pengulangan.
Berjalan sepenuhnya di browser Anda. Tidak ada yang diunggah, dicatat, atau disimpan.
Banyaknya cara
13983816
- Rumus yang dipakai
- C(49, 6) = 49! / (6! × (49 − 6)!)
- Jumlah digit jawaban
- 8
Dua pertanyaan menentukan mana dari keempatnya yang Anda butuhkan: apakah urutan kemunculannya penting? dan apakah benda yang sama boleh dipilih dua kali? Semua soal kombinatorika yang salah dikerjakan orang adalah soal yang pertanyaan-pertanyaan itu dijawab tanpa pernah diajukan.
Cara kerja
Undian lotre adalah kombinasi: enam angka dari empat puluh sembilan, dan urutan keluarnya tidak mengubah apa pun. Podium adalah permutasi: juara satu, dua, dan tiga adalah tiga hasil yang berbeda dengan tiga orang yang sama. PIN empat digit adalah permutasi dengan pengulangan, karena 1111 diperbolehkan.
Hasil hitungan melampaui kapasitas bilangan bulat mesin hampir seketika — 21! sudah melampauinya — jadi di sini aritmetikanya bekerja pada string desimal, digit demi digit. Hitungan susunan yang kira-kira bukan hitungan apa pun, dan jawaban floating point berhenti eksak di sekitar enam belas digit tanpa pernah memberitahukannya.
Kombinasi dibangun dengan mengalikan dan membagi secara bergantian, alih-alih menghitung tiga faktorial lalu membagi di akhir. Setiap hasil antara tetap bilangan bulat, jadi jumlah digitnya tidak menumpuk melebihi jawaban.
Contoh
| Kasus | Masukan | Hasil |
|---|---|---|
| Undian lotre: urutan tidak penting | C(49, 6) | 13 983 816 |
| Podium: urutan penting | P(10, 3) | 720 |
| PIN empat digit: pengulangan diperbolehkan | 10^4 | 10 000 |
| Lebih besar dari bilangan bulat mesin mana pun | C(1000, 500) | bilangan 300 digit, tepat |
Pertanyaan umum
Mana yang saya butuhkan?
Tanyakan apakah menukar dua benda yang dipilih menghasilkan hasil yang berbeda. Jika ya, Anda butuh permutasi; jika tidak, kombinasi. Lalu tanyakan apakah benda yang sama boleh dipilih dua kali: lemparan dadu boleh, kartu di tangan tidak.
Mengapa C(49, 6) adalah jumlah tiket lotre?
Karena undian berupa enam angka dari empat puluh sembilan tanpa pengulangan, dan urutan pengambilannya tidak mengubah tiket. 13.983.816 adalah jumlah tiket berbeda yang ada, sekaligus berarti peluang tiket mana pun adalah satu banding sebanyak itu.
Mengapa batasnya 1.000?
Bukan karena aritmetikanya rusak — tidak rusak — melainkan karena jawabannya berhenti bisa dibaca. 1.000! adalah bilangan 2.568 digit; 100.000! akan menjadi berhalaman-halaman digit yang tidak diminta siapa pun.
Apakah nol pangkat nol di sini sama dengan satu?
Ya. Ada tepat satu cara menyusun ketiadaan dari ketiadaan — susunan kosong — dan itulah konvensi yang dipakai kombinatorika dari awal sampai akhir.
Perlu diketahui
- Setiap jawaban eksak, berapa pun digitnya. Di sini tidak ada yang dibulatkan dan tidak ada yang ditulis dalam notasi ilmiah.