ggT- und kgV-Rechner
Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen oder einer ganzen Reihe.
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Größter gemeinsamer Teiler
6
- Kleinstes gemeinsames Vielfaches
- 72
- Teilerfremd?
- nein
- Der Teiler, faktorisiert
- 2 × 3
Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die sie alle teilt; das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, in die sie alle hineingehen. Das eine kürzt einen Bruch, das andere findet den gemeinsamen Nenner.
Wie es funktioniert
Der Teiler kommt aus dem euklidischen Algorithmus: die größere Zahl durch ihren Rest bei Division durch die kleinere ersetzen und wiederholen, bis eine von beiden null ist. Er ist über zweitausend Jahre alt und immer noch der schnellste Weg — eine Handvoll Schritte selbst bei Zahlen mit zwölf Stellen.
Das Vielfache ist das Produkt geteilt durch den Teiler, aber zuerst geteilt und danach multipliziert. Zuerst zu multiplizieren lässt eine Maschinenzahl lange überlaufen, bevor es die Antwort selbst täte, und die Division geht immer auf, die Reihenfolge kostet also nichts.
Eine Reihe von mehr als zwei wird paarweise gefaltet, und das ist richtig, weil beide Rechenarten assoziativ sind: Der Teiler von a, b und c ist der Teiler von a und dem Teiler von b und c.
Beispiele
| Fall | Eingabe | Ergebnis |
|---|---|---|
| Zwei Zahlen | 48, 18 | ggT 6, kgV 144 |
| Eine ganze Reihe | 12, 18, 24 | ggT 6, kgV 72 |
| Nichts gemeinsam | 8, 15 | ggT 1 — teilerfremd |
Häufige Fragen
Was heißt teilerfremd?
Dass der größte gemeinsame Teiler 1 ist: Die Zahlen teilen überhaupt keinen Faktor. Sie müssen selbst keine Primzahlen sein — 8 und 15 sind teilerfremd und keine von beiden ist prim.
Was passiert, wenn eine der Zahlen null ist?
Der Teiler von 0 und n ist n, denn jede Zahl teilt null. Das Vielfache ist 0, denn null ist das einzige Vielfache, das null hat. Beides folgt aus den Definitionen und ist kein Sonderfall.
Spielt das Vorzeichen eine Rolle?
Nein. Beide werden als positive Zahlen ausgegeben, und das ist die übliche Konvention: −12 und 12 haben genau dieselben Teiler.
Gut zu wissen
- Bis zu fünfzig Zahlen, jede unter einer Billion. Die Obergrenze liegt dort, wo sich der Teiler noch innerhalb eines Seitenaufrufs faktorisieren lässt.