Calculatrice PGCD et PPCM
Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux nombres ou de toute une liste.
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Plus grand commun diviseur
6
- Plus petit commun multiple
- 72
- Premiers entre eux ?
- non
- Le diviseur, décomposé
- 2 × 3
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui les divise tous ; le plus petit commun multiple est le plus petit nombre dans lequel ils se divisent tous. L'un réduit une fraction, l'autre trouve le dénominateur commun.
Comment ça marche
Le diviseur vient de l'algorithme d'Euclide : remplacer le plus grand par son reste dans la division par le plus petit, et recommencer jusqu'à ce que l'un soit nul. Il a plus de deux mille ans et reste le plus rapide — une poignée d'étapes même pour des nombres à douze chiffres.
Le multiple est le produit divisé par le diviseur, mais divisé d'abord et multiplié ensuite. Multiplier d'abord dépasse la capacité d'un entier machine bien avant que la réponse ne le fasse, et la division est toujours exacte : l'ordre ne coûte rien.
Une liste de plus de deux est repliée deux à deux, ce qui est correct car les deux opérations sont associatives : le diviseur de a, b et c est le diviseur de a et du diviseur de b et c.
Exemples
| Cas | Saisie | Résultat |
|---|---|---|
| Deux nombres | 48, 18 | PGCD 6, PPCM 144 |
| Une liste entière | 12, 18, 24 | PGCD 6, PPCM 72 |
| Rien en commun | 8, 15 | PGCD 1 — premiers entre eux |
Questions fréquentes
Que veut dire « premiers entre eux » ?
Que le plus grand commun diviseur vaut 1 : les nombres ne partagent aucun facteur. Ils n'ont pas besoin d'être premiers eux-mêmes — 8 et 15 sont premiers entre eux et aucun n'est premier.
Que se passe-t-il si l'un des nombres est zéro ?
Le diviseur de 0 et n vaut n, puisque tout nombre divise zéro. Le multiple vaut 0, puisque zéro est le seul multiple que zéro possède. Les deux découlent des définitions et ne sont pas des cas particuliers.
Le signe compte-t-il ?
Non. Les deux sont donnés positifs, selon l'usage : −12 et 12 ont exactement les mêmes diviseurs.
Bon à savoir
- Jusqu'à cinquante nombres, chacun sous mille milliards. Le plafond est là où décomposer le diviseur revient encore dans le temps d'un chargement de page.